Variáveis Complexas
O que é um polo?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é um polo em funções de variável complexa. Estamos no conteúdo de singularidades isoladas e séries de Laurent. Para responder, vamos ver primeiro o que é uma singularidade isolada e depois classificar essa singularidade como polo.

Passo 2

Uma função f(z) tem uma singularidade isolada em z_0 se existe um disco removido
0<|z-z_0|<R
no qual f é analítica, mas f não é analítica em z_0. Dentro das singularidades isoladas, há três tipos: removable (removível), polo e essencial. O polo é justamente o caso em que f(z) “explode” para infinito ao aproximar z_0.

Passo 3

Formalmente, dizemos que z_0 é um polo de ordem n de f se na expansão de Laurent de f ao redor de z_0 f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\,(z-z_0)^k
o coeficiente a_{-n}\neq 0 e todos os a_k=0 para k<-n. Isso significa que a parte principal tem exatamente n termos e, em particular,
\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^n f(z)=a_{-n}\neq 0, \quad \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{m} f(z)=0\;\text{para todo }m>n.

Passo 4

Em termos de limite, se existe um inteiro positivo n tal que
\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^n f(z)=L\neq 0 \quad\text{e}\quad \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{n-1} f(z)=\infty,
então f tem um polo de ordem n em z_0. Por exemplo:
  1. f(z)=\dfrac1{z-z_0} tem polo simples (ordem 1) em z_0.
  2. g(z)=\dfrac5{(z-2)^3} tem polo de ordem 3 em z=2.

Resposta

Um polo de uma função f em z_0 é uma singularidade isolada em que f(z)\to\infty quando z\to z_0. Mais precisamente, é um ponto onde, na expansão de Laurent de f, a parte principal tem um número finito e não-nulo de termos negativos, e o menor desses é -(z-z_0)^{-n}, definindo-se o polo de ordem n.

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