Variáveis Complexas
O que é um polo?
O que é um polo?
Passo 1
O enunciado pergunta o que é um polo em funções de variável complexa. Estamos no conteúdo de singularidades isoladas e séries de Laurent. Para responder, vamos ver primeiro o que é uma singularidade isolada e depois classificar essa singularidade como polo.
Passo 2
Uma função
tem uma singularidade isolada em
se existe um disco removido
no qual
é analítica, mas
não é analítica em
. Dentro das singularidades isoladas, há três tipos: removable (removível), polo e essencial. O polo é justamente o caso em que
“explode” para infinito ao aproximar
.
Passo 3
Formalmente, dizemos que
é um polo de ordem
de
se na expansão de Laurent de
ao redor de
o coeficiente
e todos os
para
. Isso significa que a parte principal tem exatamente
termos e, em particular,
Passo 4
Em termos de limite, se existe um inteiro positivo
tal que
então
tem um polo de ordem
em
. Por exemplo:
-
tem polo simples (ordem 1) em . -
tem polo de ordem 3 em .
Resposta
Um polo de uma função
em
é uma singularidade isolada em que
quando
. Mais precisamente, é um ponto onde, na expansão de Laurent de
, a parte principal tem um número finito e não-nulo de termos negativos, e o menor desses é
, definindo-se o polo de ordem
.