Variáveis Complexas
O que é uma função complexa?

Passo 1

O enunciado pede “O que é uma função complexa?”. Isso faz parte do conteúdo de variáveis complexas, mais precisamente a definição de função cuja variável de entrada e saída são números complexos. Para resolver, vamos lembrar o conceito geral de função e, em seguida, particularizar para o caso complexo.

Passo 2

Em matemática, uma função é uma aplicação que associa cada elemento de um conjunto de entrada a exatamente um elemento de um conjunto de saída. No caso de funções complexas, tanto o domínio (conjunto de entrada) quanto o contradomínio (conjunto de saída) são subconjuntos de \mathbb{C}.

Passo 3

Denotamos o domínio por D \subseteq \mathbb{C} e escrevemos
f \colon D \to \mathbb{C},
o que significa que, para cada z \in D, a função produz um único valor w = f(z) em \mathbb{C}.

Passo 4

Como todo número complexo pode ser escrito na forma z = x + i\,y com x,y \in \mathbb{R}, podemos decompor a função em partes real e imaginária:
f(x+ i\,y) = u(x,y) + i\,v(x,y),
onde u e v são funções reais que dão, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de f(z).

Passo 5

Por exemplo, para f(z)=z^2 temos
f(x+i\,y) = (x+i\,y)^2 = (x^2 - y^2) + i\,(2xy),
logo u(x,y)=x^2 - y^2 e v(x,y)=2xy.

Resposta

Uma função de variável complexa é uma aplicação
f \colon D \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}
que associa a cada número complexo z = x + i\,y um valor
f(z) = u(x,y) + i\,v(x,y),
sendo u e v funções reais responsáveis pelas partes real e imaginária de f(z).

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