Variáveis Complexas
Quais os tipos mais importantes de funções complexas para Sinais e Sistemas?

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos e caracterizarmos os tipos de funções de variável complexa mais usados em Sinais e Sistemas. O conteúdo refere-se a aplicar teoria de funções de variável complexa em transformadas (Laplace, Fourier, Z), representação de sinais e análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI).

Passo 2

Funções complexas inteiras (analíticas em todo o plano):
e^{st}, onde s=\sigma+j\omega. É a base da transformada de Laplace e das respostas exponenciais de sistemas LTI.
– Polinômios em s ou em t, usados em séries de Taylor para aproximar respostas e em critérios de estabilidade.

Passo 3

Funções meromorfas (racionais):
– Funções de transferência no domínio de Laplace
H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}\!,
onde N e D são polinômios em s. Os polos (zeros de D) e zeros (raiz de N) definem estabilidade e resposta em frequência.
– Funções de transferência no domínio z (Z-transform)
H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_k\,z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N}a_k\,z^{-k}}\!,
com região de convergência (ROC) determinando causalidade e estabilidade em Sinais Digitais.

Passo 4

Funções periódicas e transformadas de Fourier:
– Transformada de Fourier contínua
X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
que produz funções de \omega tipicamente não-racionais, mas analíticas ao longo de linhas (eixo imaginário) ou faixas (banda passante).
– Séries de Fourier, onde sinal periódico x(t) é escrito
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\,e^{j n\omega_0 t}.

Passo 5

Funções logarítmicas e de fase (uso em Bode):
\log H(j\omega)=\ln|H(j\omega)| + j\arg H(j\omega). Aparecem nos diagramas de Bode para representar ganho em dB e características de fase, exigindo função logarítmica complexa (multivaluada, com descontinuidades de ramo).

Passo 6

Funções especiais e distribuições:
– Delta de Dirac \delta(t) e seu transformado constante em s ou em j\omega.
– Função escalão \,u(t)\, que gera termos \tfrac{1}{s} em Laplace.
– Em casos avançados, funções de Bessel ou Hankel em sistemas de contornos não triviais.

Resposta

Os tipos mais importantes são:
(a) Funções inteiras: exponencial complexa e^{st} e polinômios.
(b) Funções racionais (meromorfas): transferências H(s)=N(s)/D(s) e H(z).
(c) Funções de Fourier e séries de Fourier: X(j\omega) e coeficientes C_n.
(d) Funções logarítmicas complexas: usadas em diagramas de Bode.
(e) Distribuições especiais: \delta(t) e u(t).

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