Variáveis Complexas
Quais os tipos mais importantes de funções complexas para Sinais e Sistemas?
Quais os tipos mais importantes de funções complexas para Sinais e Sistemas?
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos e caracterizarmos os tipos de funções de variável complexa mais usados em Sinais e Sistemas. O conteúdo refere-se a aplicar teoria de funções de variável complexa em transformadas (Laplace, Fourier, Z), representação de sinais e análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI).
Passo 2
Funções complexas inteiras (analíticas em todo o plano):
– , onde
. É a base da transformada de Laplace e das respostas exponenciais de sistemas LTI.
– Polinômios em ou em
, usados em séries de Taylor para aproximar respostas e em critérios de estabilidade.
–
– Polinômios em
Passo 3
Funções meromorfas (racionais):
– Funções de transferência no domínio de Laplace
– Funções de transferência no domínio de Laplace
onde
e
são polinômios em
. Os polos (zeros de
) e zeros (raiz de
) definem estabilidade e resposta em frequência.
– Funções de transferência no domínio z (Z-transform)
– Funções de transferência no domínio z (Z-transform)
com região de convergência (ROC) determinando causalidade e estabilidade em Sinais Digitais.
Passo 4
Funções periódicas e transformadas de Fourier:
– Transformada de Fourier contínua
– Transformada de Fourier contínua
que produz funções de
tipicamente não-racionais, mas analíticas ao longo de linhas (eixo imaginário) ou faixas (banda passante).
– Séries de Fourier, onde sinal periódico é escrito
– Séries de Fourier, onde sinal periódico
Passo 5
Funções logarítmicas e de fase (uso em Bode):
– . Aparecem nos diagramas de Bode para representar ganho em dB e características de fase, exigindo função logarítmica complexa (multivaluada, com descontinuidades de ramo).
–
Passo 6
Funções especiais e distribuições:
– Delta de Dirac e seu transformado constante em
ou em
.
– Função escalão que gera termos
em Laplace.
– Em casos avançados, funções de Bessel ou Hankel em sistemas de contornos não triviais.
– Delta de Dirac
– Função escalão
– Em casos avançados, funções de Bessel ou Hankel em sistemas de contornos não triviais.
Resposta
Os tipos mais importantes são:
(a) Funções inteiras: exponencial complexa
e polinômios.
(b) Funções racionais (meromorfas): transferências e
.
(c) Funções de Fourier e séries de Fourier: e coeficientes
.
(d) Funções logarítmicas complexas: usadas em diagramas de Bode.
(e) Distribuições especiais: e
.
(b) Funções racionais (meromorfas): transferências
(c) Funções de Fourier e séries de Fourier:
(d) Funções logarítmicas complexas: usadas em diagramas de Bode.
(e) Distribuições especiais: