Variáveis Complexas
O que é uma função complexa polinomial?
O que é uma função complexa polinomial?
Passo 1
O enunciado pergunta “O que é uma função complexa polinomial?”. O conteúdo aqui é funções de variável complexa, mais especificamente polinômios definidos em
. Para responder, precisamos lembrar a definição de polinômio em termos de soma de monômios com coeficientes complexos e comentar brevemente algumas propriedades básicas.
Passo 2
Uma função complexa polinomial de grau
é uma aplicação
da forma
onde
é um inteiro não negativo,
para todo
, e
. Cada termo
é chamado de monômio de grau
.
Passo 3
Para fixar a ideia, veja alguns exemplos:
- Grau zero (constante):
- Grau um (afim):
- Grau dois (quadrático):
Passo 4
Algumas propriedades importantes:
– Todo polinômio complexo é entire, ou seja, é holomorfo em inteira.
– Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau tem exatamente
raízes em
, contando multiplicidades.
– Polinômios formam um espaço vetorial sobre , fechado sob soma e produto.
– Todo polinômio complexo é entire, ou seja, é holomorfo em
– Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau
– Polinômios formam um espaço vetorial sobre
Resposta
Uma função
é chamada de polinomial se existe um inteiro
e coeficientes
, com
, tais que