Variáveis Complexas
O que é uma função complexa polinomial?

Passo 1

O enunciado pergunta “O que é uma função complexa polinomial?”. O conteúdo aqui é funções de variável complexa, mais especificamente polinômios definidos em \mathbb{C}. Para responder, precisamos lembrar a definição de polinômio em termos de soma de monômios com coeficientes complexos e comentar brevemente algumas propriedades básicas.

Passo 2

Uma função complexa polinomial de grau n é uma aplicação
p:\mathbb{C}\to\mathbb{C}
da forma
p(z)=a_n\,z^n + a_{n-1}\,z^{n-1} + \cdots + a_1\,z + a_0,
onde n é um inteiro não negativo, a_k\in\mathbb{C} para todo k, e a_n\neq 0. Cada termo a_k\,z^k é chamado de monômio de grau k.

Passo 3

Para fixar a ideia, veja alguns exemplos:
  1. Grau zero (constante):
p(z)=a_0,\quad a_0\in\mathbb{C}.
  1. Grau um (afim):
p(z)=a_1\,z + a_0,\quad a_1\neq 0.
  1. Grau dois (quadrático):
p(z)=a_2\,z^2 + a_1\,z + a_0,\quad a_2\neq 0.

Passo 4

Algumas propriedades importantes:
– Todo polinômio complexo é entire, ou seja, é holomorfo em \mathbb{C} inteira.
– Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau n tem exatamente n raízes em \mathbb{C}, contando multiplicidades.
– Polinômios formam um espaço vetorial sobre \mathbb{C}, fechado sob soma e produto.

Resposta

Uma função p:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é chamada de polinomial se existe um inteiro n\ge0 e coeficientes a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}, com a_n\neq0, tais que
p(z)=\sum_{k=0}^{n}a_k\,z^k.

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