Variáveis Complexas
Por que os polos são fundamentais na caracterização de um sistema?
Por que os polos são fundamentais na caracterização de um sistema?
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que os polos são fundamentais na caracterização de um sistema linear e invariante no tempo (LTI). O conteúdo central é análise de sistemas via variáveis complexas, usando a transformada de Laplace (caso contínuo) ou Z (caso discreto). Para resolver, vamos precisar definir o que são polos de uma função de transferência e mostrar como eles determinam estabilidade, resposta transitória e frequência de ressonância.
Passo 2
Definimos a função de transferência de um sistema LTI contínuo como
onde
e
são polinômios em
. Os polos de
são as raízes de
, isto é, os valores
tais que
.
Cada polo
gera um modo natural no domínio do tempo. Ao aplicar a transformada inversa de Laplace, a parte homogênea da resposta do sistema contém termos da forma
Portanto, os polos definem os modos de decaimento ou crescimento exponencial e as oscilações (quando
é complexo).
Passo 3
A estabilidade do sistema depende exclusivamente da parte real dos polos:
- Se
para todo , cada termo decai e o sistema é estável. - Se existir algum
com , há um termo que cresce exponencialmente e o sistema é instável. - Se houver polos com
, há oscilações não amortecidas.
Passo 4
Os polos também determinam as constantes de tempo e a frequência de oscilação. Escrevendo um polo complexo conjugado como
temos constante de tempo
e frequência natural
. Essas grandezas controlam o tempo de acomodação, o overshoot e a banda passante do sistema.
Passo 5
No domínio da frequência, a proximidade dos polos ao eixo imaginário em
define picos de ganho (ressonâncias) e a atenuação em altas frequências. Em sistemas discretos, a lógica é análoga no plano
: polos dentro do círculo unitário garantem estabilidade e definem modos
.
Passo 6
Em termos de análise por séries de resíduos, cada polo contribui com um resíduo na transformada inversa e, assim, resume toda a dinâmica do sistema. Por isso, conhecer a posição dos polos no plano complexo é suficiente para prever comportamento transitório, estabilidade e resposta em frequência.
Resposta
Os polos são fundamentais porque eles determinam os modos naturais do sistema (exponenciais e oscilações), definem a estabilidade (pela parte real), regulam o tempo de acomodação e as ressonâncias (pela parte imaginária ou frequência), e permitem reconstruir completamente a resposta via resíduos na transformada inversa.