Para uma variável aleatória contínua X com função de densidade f(x)=3 x^2 para x in[0,1] e zero caso contrário, determine E(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma variável aleatória contínua com a função de densidade no intervalo . O que queremos encontrar é o valor esperado de , que a gente denota por . Para isso, vamos precisar da fórmula do valor esperado para variáveis contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. É basicamente a média ponderada de todos os possíveis valores que E(X) = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx pode assumir, ponderada pela probabilidade de cada valor. Para variáveis contínuas, a fórmula do valor esperado é:
No nosso caso, só é diferente de zero entre 0 e 1, então podemos simplificar a integral para esse intervalo.

Passo 3

Agora, substituímos E(X) = integral0^1 x cdot 3x^2 , dx na fórmula do valor esperado:
E(X) = integral0^1 3x^3 , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Vamos calcular essa integral. A integral de E(X) = 3 [ x^44 ]0^1 é E(X) = 3 ( 1^44 - 0^44 ) = 3 ( 14 - 0 ) = 3 cdot 14 = 34 , então:
Avaliar isso nos limites de 0 a 1:

Resposta

O valor esperado de é .

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