Para uma variável aleatória contínua
com função de densidade
para
e zero caso contrário, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma variável aleatória contínua
com a função de densidade
no intervalo
. O que queremos encontrar é o valor esperado de
, que a gente denota por
. Para isso, vamos precisar da fórmula do valor esperado para variáveis contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. É basicamente a média ponderada de todos os possíveis valores que
pode assumir, ponderada pela probabilidade de cada valor. Para variáveis contínuas, a fórmula do valor esperado é:
No nosso caso,
só é diferente de zero entre 0 e 1, então podemos simplificar a integral para esse intervalo.
Passo 3
Agora, substituímos
na fórmula do valor esperado:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A integral de
é
, então:
Avaliar isso nos limites de 0 a 1:
Resposta
O valor esperado de
é
.