Uma variável aleatória Z assume valores 1,2,3, ldots, 100 com probabilidades iguais. Encontre E(Z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória chamada Z que pode assumir os valores de 1 até 100, todos com a mesma probabilidade. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado de Z, que é representado por E(Z). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor esperado e como calcular a média de uma distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma variável aleatória é como a média ponderada de todos os possíveis valores que ela pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. No caso do Z, como todas as probabilidades são iguais, isso simplifica nosso cálculo.

Passo 3

Como Z pode ser qualquer número de 1 até 100 com a mesma chance, temos uma distribuição uniforme discreta. A fórmula para o valor esperado nessa distribuição é a média dos valores mínimo e máximo. Ou seja:
E(Z) = zmínimo + zmáximo2 íá

Passo 4

Aplicando os valores do nosso caso: zmínimo = 1í e zmáximo = 100á. Substituindo na fórmula:
E(Z) = 1 + 1002

Passo 5

Fazendo as contas:
E(Z) = 1012 = 50,5

Resposta

O valor esperado de Z é 50,5.

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