Uma variável aleatória contínua X tem sua função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 27 x se 0 <= x<1 27 se 1 <= x <= 4 0 caso contrário á
a) Determinar P(0 <= X <= 2).
b) Calcular a média e a variância da variável.

Passo 1

O enunciado diz que a variável contínua
Pede-se:
a) e .
Para tudo isso vamos usar a definição de probabilidade e os momentos de ordem 1 e 2 via integrais.

Passo 2

Calcular
P(0<= X<=2) =integral0^127x,dx +integral1^227,dx
A primeira integral é
integral0^127x,dx =27cdotx^22|0^1 =17,
a segunda é
integral1^227,dx =27(2-1) =27
Somando dá
P(0<= X<=2) =17+27 =37

Passo 3

Calcular a média
E[X] =integral0^1xcdot27x,dx +integral1^4xcdot27,dx =27integral0^1x^2,dx +27integral1^4x,dx
Aqui
integral0^1x^2,dx=13, integral1^4x,dx=x^22|1^4 =16-12= 152
Logo
E[X] =27cdot13 +27cdot152 =221+157 =2+4521 =4721

Passo 4

Calcular o segundo momento
E[X^2] =integral0^1x^2cdot27x,dx +integral1^4x^2cdot27,dx =27integral0^1x^3,dx +27integral1^4x^2,dx
Temos
integral0^1x^3,dx=14, integral1^4x^2,dx =x^33|1^4 =64-13=633=21
Então
E[X^2] =27cdot14 +27cdot21 =114+6 =1+8414 =8514

Passo 5

Usar Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2.
Substituindo:
Var(X) =8514 -gl(4721gr)^2 =8514 -2209441 =937882

Resposta

(a) 37
(b) E[X]=4721, Var(X)=937882

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