Uma variável aleatória X tem sua função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=c k se 0 <= x <= 2 k(x-1) se 2<x <= 4 0 caso contrário á
a) Determinar o valor de K .
b) Determinar P(1 <= x <= 3).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua
e pede (a) o valor de . Vamos usar as propriedades de funções densidade:
  1. A normalização exige .
  2. Para calculamos , dividindo em subintervalos conforme a definição de .

Passo 2

Normalização:
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^2k,dx+integral2^4k(x-1),dx =1
Calculemos cada parte:
integral0^2k,dx = k,(2-0) =2k,
integral2^4k(x-1),dx = kintegral2^4(x-1),dx = kl[tfrac12(x-1)^2r]2^4 = kcdottfrac12(3^2-1^2) = kcdot4 =4k

Passo 3

Somando e igualando a 1:
2k + 4k = 6k = 1 Longrightarrow k = 16

Passo 4

Agora P(1<= X<= 3)=integral1^3f(x),dx. Dividimos em [1,2] (onde f(x)=k) e [2,3] (onde f(x)=k(x-1)):
integral1^2k,dx = k,(2-1) = k,
integral2^3k(x-1),dx = kl[tfrac12(x-1)^2r]2^3 = kcdottfrac12(4-1) = tfrac32k
Somando,
P(1<= X<= 3) = k + tfrac32k = tfrac52k

Passo 5

Substituindo k=tfrac16:
P(1<= X<= 3) = tfrac52times tfrac16 = tfrac512

Resposta

a) k = tfrac16
b) P(1<= X<= 3) = tfrac512

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