Uma variável aleatória contínua X tem sua função densidade de probabilidade dada abaixo. Considere que a função é nula fora dos intervalos:
f(x)=lr 16 & se 0 <= x <= 1 12 x-13 & se 1<x <= 2 -12 x+53 & se 2<x <= 3
a) Determinar P(12 <= x <= 52)
b) Determinar o valor médio da variável.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de probabilidade contínua f(x) definida por partes em [0,1], (1,2] e (2,3], e pede:
  • a) a probabilidade ,Pl(tfrac12<= X<=tfrac52r), que a gente calcula integrando f(x) sobre esse intervalo;
  • b) o valor médio E[X], que se obtém de
E[X]=integral-infty^inftyx,f(x),dx
que aqui vira soma de três integrais (uma em cada parte).

Passo 2

Para Pl(tfrac12<= X<=tfrac52r) dividimos a integral em três trechos:
integraltfrac12^116,dx +integral1^2l(tfrac12 x-tfrac13r),dx +integral2^tfrac52l(-tfrac12 x+tfrac53r),dx
Calculamos cada parte:
integraltfrac12^116,dx =1-tfrac126 =112,
integral1^2l(tfrac12 x-tfrac13r),dx =l[tfrac14x^2-tfrac13xr]1^2 =l(1-tfrac23r)-l(tfrac14-tfrac13r) =tfrac13+tfrac112 =tfrac512,
integral2^tfrac52l(-tfrac12 x+tfrac53r),dx =l[-tfrac14x^2+tfrac53xr]2^tfrac52 ;=;l(-tfrac6,254+ tfrac12,53r);-;l(-1+tfrac103r) =tfrac1348

Passo 3

Somando as três parcelas:
Pl(tfrac12<= X<=tfrac52r) =112+512+1348 =4+20+1348 =3748

Passo 4

Para o valor médio dividimos em três integrais:
E[X] =integral0^1xcdot16,dx +integral1^2xl(tfrac12 x-tfrac13r),dx +integral2^3xl(-tfrac12 x+tfrac53r),dx

Passo 5

Calculamos cada termo:
integral0^1x6,dx =l[tfracx^212r]0^1 =tfrac112,
integral1^2l(tfrac12x^2-tfrac13xr),dx =l[tfrac16x^3-tfrac16x^2r]1^2 =l(tfrac86-tfrac46r)-l(tfrac16-tfrac16r) =tfrac46 =tfrac23,
integral2^3l(-tfrac12x^2+tfrac53xr),dx =l[-tfrac16x^3+tfrac56x^2r]2^3 =(3)-(2) =1
Somando:
E[X] =112+23+1 =1+8+1212 =2112 =74

Resposta

a) 3748
b) 74

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