Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x, \text { se } 0<x \leq 1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á, determine:
a) k a fim de que f(x) seja uma f.d.p. k=2
b) o gráfico de f(x).
c) P(0<x<0,5). 0,25
d) A média E(X). 0,666…
e) A função de distribuição acumulada \mathrm{F}(\mathrm{x}).
f) O gráfico de \mathrm{F}(\mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases}kx, & \text{se } 0<x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
As perguntas são:
a) Determinar k para que f seja uma f.d.p. (função densidade de probabilidade).
b) Desenhar o gráfico de f(x).
c) Calcular P(0<x<0,5).
d) Calcular a média E(X).
e) Determinar a função de distribuição acumulada F(x).
f) Desenhar o gráfico de F(x).]

Passo 2

Entendendo o que significa ser uma f.d.p.: uma função f é densidade de probabilidade quando (i) f(x)\ge 0 para todo x e (ii) a integral de f sobre toda a reta é 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
No nosso caso f(x)=kx só em (0,1] e é zero fora, então a condição (ii) vira a integral de 0 a 1 de kx:
\int_{0}^{1} kx\,dx = 1.
Calculemos essa integral passo a passo:
\int_{0}^{1} kx\,dx = k\int_{0}^{1} x\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = k\cdot\frac{1^{2}-0^{2}}{2} = \frac{k}{2}.
Da igualdade \dfrac{k}{2}=1 obtemos
k=2.
Observação amigável: aqui só usamos a regra básica de integração \int x\,dx = x^{2}/2. Tranquilo!

Passo 3

Agora com k=2\) a densidade fica \[f(x)=\begin{cases}2x, & 0<x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Para desenhar o gráfico de f\] pense assim: - Para \(x\le 0 temos f(x)=0 (e também em x>1 vale 0).
- No intervalo 0<x\le 1, f(x)=2x é uma reta que passa pela origem se estendida, com inclinação 2. Como aqui o valor em x=0 pela outra condição é 0, o ponto (0,0) está no gráfico (sem massa atômica, só valor zero).
- Valores importantes: \,f(0)=0,\; f(0{,}5)=2\cdot0{,}5=1,\; f(1)=2.
Resumo prático para desenhar: traçar a reta y=2x entre x=0 e x=1; estender valores y=0 para x\le 0 e para x>1.]

Passo 4

Calcular P(0<x<0{,}5). Para variável contínua, probabilidades em intervalos são dadas por integrais da densidade:
P(0<x<0{,}5)=\int_{0}^{0{,}5} f(x)\,dx = \int_{0}^{0{,}5} 2x\,dx.
Compute:
\int_{0}^{0{,}5} 2x\,dx = 2\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{0{,}5} = \left[x^{2}\right]_{0}^{0{,}5} = (0{,}5)^{2}-0^{2}=0{,}25.
Portanto P(0<x<0{,}5)=0{,}25.

Passo 5

Calcular a média E(X). A definição de esperança para variável contínua é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
No nosso caso só precisamos integrar de 0 a 1:
E(X)=\int_{0}^{1} x\cdot(2x)\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Calcule:
2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1^{3}-0}{3} = \frac{2}{3}.
Em decimal isso é aproximadamente 0{,}666\ldots.
Explicação curta: multiplicamos x por a densidade 2x e integramos — é a fórmula padrão.

Passo 6

Determinar a função de distribuição acumulada [F(x)=P(X\le x)). Para variável contínua com densidade suportada em [0,1], temos três regiões:
  1. Se x<0, então F(x)=0 pois toda a massa está em x>0.
  2. Se 0\le x<1, então
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{x} 2t\,dt = \left[t^{2}\right]_{0}^{x} = x^{2}.
  1. Se x\ge 1, então F(x)=1 porque toda a massa (probabilidade total) já está acumulada.
Portanto a expressão em bloco fica assim:
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] x^{2}, & 0\le x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}
Observação: F\] é contínua em \(x=0 e em x=1 (pois F(0)=0^{2}=0 e F(1)=1).]

Passo 7

Gráfico de F(x): descrição para desenhar
  • Para x<0: reta horizontal em y=0.
  • Entre x=0 e x=1: curva parabólica crescente dada por y=x^{2}. Alguns pontos úteis: (0,0),\;(0{,}5,0{,}25),\;(1,1). A curva é suave, crescente e convexa para cima.
  • Para x\ge 1: reta horizontal em y=1.
Relação importante: a derivada de F em (0,1) é F'(x)=2x=f(x), o que confirma a consistência entre densidade e função de distribuição.

Resposta

a) k=2\) b) \(f(x)=\begin{cases}2x, & 0<x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases} (reta [y=2x) em 0\le x\le1, zero fora)
c) P(0<x<0{,}5)=0{,}25
d) E(X)=\dfrac{2}{3}
e) F(x)=\begin{cases}0, & x<0,\\[4pt] x^{2}, & 0\le x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1.\end{cases}\] f) Gráfico de \(F(x): F(x)=0 para x<0, curva F(x)=x^{2} para 0\le x\le1 (passando por (0,0),(0{,}5,0{,}25),(1,1)), e F(x)=1 para x>1.]

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