Seja X o tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima, num certo período de tempo, em minutos. A função densidade de probabilidade de X é dada por: f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x}{1500^{2}} & , \text { se } 0<x \leq 1500 \\\ \frac{3000-x}{1500^{2}} & , \text { se } 1500<x \leq 3000 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{array}\right.á
Calcular \mathrm{E}(\mathrm{X}), ou seja, o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima.
Resp.: 1500 min .

Passo 1

O enunciado nos dá que X\) é o tempo (em minutos) que um equipamento fica em carga máxima, e fornece a função densidade de probabilidade: \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{1500^{2}}, & \text{se } 0<x\leq 1500,\\[6pt] \dfrac{3000-x}{1500^{2}}, & \text{se } 1500<x\leq 3000,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
A pergunta é calcular \mathrm{E}(X)\], o valor esperado (tempo médio) de \(X.]

Passo 2

Definição e ideia do que vamos usar.
Para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), o valor esperado (ou média) é dado por
\mathrm{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui x é a variável de integração (o valor possível da variável aleatória) e f(x) é a densidade que dá a “peso” de cada x. Intuitivamente, \mathrm{E}(X) é uma média ponderada dos possíveis valores de X, onde o peso é a probabilidade de X estar próximo daquele valor.
Antes de calcular, é bom checar que f é realmente uma densidade (ou seja, integra 1). Isso dá segurança nos cálculos.

Passo 3

Verificação da normalização: calcular \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx. Como f(x)=0 fora de (0,3000], basta integrar em duas partes:
\int_{0}^{1500}\frac{x}{1500^{2}}\,dx+\int_{1500}^{3000}\frac{3000-x}{1500^{2}}\,dx.
Calculemos a primeira integral:
\int_{0}^{1500}\frac{x}{1500^{2}}\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2\cdot1500^{2}}\right]_{0}^{1500} =\frac{1500^{2}}{2\cdot1500^{2}} =\frac{1}{2}.
Agora a segunda:
\int_{1500}^{3000}\frac{3000-x}{1500^{2}}\,dx =\frac{1}{1500^{2}}\left[3000x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1500}^{3000}.
Avalia-se o colchete:
\left(3000\cdot3000-\frac{3000^{2}}{2}\right)-\left(3000\cdot1500-\frac{1500^{2}}{2}\right) = \left(9{,}000{,}000-\frac{9{,}000{,}000}{2}\right)-\left(4{,}500{,}000-\frac{2{,}250{,}000}{2}\right).
Simplificando rapidamente (ou fazendo as operações diretas) obtém-se \dfrac{1}{2}. Portanto a soma das duas integrais é \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1. Logo f é uma densidade válida.

Passo 4

Agora montamos a expressão para \mathrm{E}(X), dividindo a integral nas duas partes do suporte:
\mathrm{E}(X)=\int_{0}^{1500} x\cdot\frac{x}{1500^{2}}\,dx+\int_{1500}^{3000} x\cdot\frac{3000-x}{1500^{2}}\,dx.
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Cálculo da primeira integral:
\int_{0}^{1500} x\cdot\frac{x}{1500^{2}}\,dx =\int_{0}^{1500}\frac{x^{2}}{1500^{2}}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3\cdot1500^{2}}\right]_{0}^{1500}.
Avalia-se no limite superior:
\frac{1500^{3}}{3\cdot1500^{2}}=\frac{1500}{3}=500.
Portanto a primeira contribuição para \mathrm{E}(X) é 500.

Passo 6

Cálculo da segunda integral:
\int_{1500}^{3000} x\cdot\frac{3000-x}{1500^{2}}\,dx =\frac{1}{1500^{2}}\int_{1500}^{3000}\left(3000x-x^{2}\right)\,dx.
A anti-derivada é
\frac{1}{1500^{2}}\left[1500x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1500}^{3000}.
Agora avaliamos nos extremos. No extremo superior x=3000:
1500\cdot3000^{2}-\frac{3000^{3}}{3}=1500\cdot9{,}000{,}000-\frac{27{,}000{,}000{,}000}{3} =13{,}500{,}000{,}000-9{,}000{,}000{,}000=4{,}500{,}000{,}000.
No extremo inferior x=1500:
1500\cdot1500^{2}-\frac{1500^{3}}{3}=3{,}375{,}000{,}000-\;1{,}125{,}000{,}000=2{,}250{,}000{,}000.
A diferença é 4{,}500{,}000{,}000-2{,}250{,}000{,}000=2{,}250{,}000{,}000. Dividindo por 1500^{2}=2{,}250{,}000 obtemos
\frac{2{,}250{,}000{,}000}{2{,}250{,}000}=1000.
Portanto a segunda contribuição para \mathrm{E}(X) é 1000.

Passo 7

Somando as duas contribuições:
\mathrm{E}(X)=500+1000=1500.
Interpretando: a média do tempo de uso em carga máxima é \,1500 minutos. (Isso também faz sentido intuitivo porque a densidade é simétrica em torno de \,1500.)

Resposta

\mathrm{E}(X)=1500\\ \text{min}

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