Seja X o tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima, num certo período de tempo, em minutos. A função densidade de probabilidade de X é dada por: f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x}{1500^{2}} & , \text { se } 0<x \leq 1500 \\\ \frac{3000-x}{1500^{2}} & , \text { se } 1500<x \leq 3000 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{array}\right.
Calcular \mathrm{E}(\mathrm{X}), ou seja, o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima.
Resp.: 1500 min .
Passo 1
O enunciado nos dá que X\) é o tempo (em minutos) que um equipamento fica em carga máxima, e fornece a função densidade de probabilidade:
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{1500^{2}}, & \text{se } 0<x\leq 1500,\\[6pt] \dfrac{3000-x}{1500^{2}}, & \text{se } 1500<x\leq 3000,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
A pergunta é calcular \mathrm{E}(X)\], o valor esperado (tempo médio) de \(X.]
Passo 2
Definição e ideia do que vamos usar.
Para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), o valor esperado (ou média) é dado por
Aqui x é a variável de integração (o valor possível da variável aleatória) e f(x) é a densidade que dá a “peso” de cada x. Intuitivamente, \mathrm{E}(X) é uma média ponderada dos possíveis valores de X, onde o peso é a probabilidade de X estar próximo daquele valor.
Antes de calcular, é bom checar que f é realmente uma densidade (ou seja, integra 1). Isso dá segurança nos cálculos.
Passo 3
Verificação da normalização: calcular \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx. Como f(x)=0 fora de (0,3000], basta integrar em duas partes:
Simplificando rapidamente (ou fazendo as operações diretas) obtém-se \dfrac{1}{2}. Portanto a soma das duas integrais é \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1. Logo f é uma densidade válida.
Passo 4
Agora montamos a expressão para \mathrm{E}(X), dividindo a integral nas duas partes do suporte:
A diferença é 4{,}500{,}000{,}000-2{,}250{,}000{,}000=2{,}250{,}000{,}000. Dividindo por 1500^{2}=2{,}250{,}000 obtemos
\frac{2{,}250{,}000{,}000}{2{,}250{,}000}=1000.
Portanto a segunda contribuição para \mathrm{E}(X) é 1000.
Passo 7
Somando as duas contribuições:
\mathrm{E}(X)=500+1000=1500.
Interpretando: a média do tempo de uso em carga máxima é \,1500 minutos. (Isso também faz sentido intuitivo porque a densidade é simétrica em torno de \,1500.)