4- A variável aleatória discreta ( W ) representa o número de quebras mensais de um computador, com média de 1,6 quebras por mês. Qual as probabilidades de que esse tipo de computador funcione durante dois meses: a-) sem nenhuma quebra b-) com no mínimo uma quebra.

Passo 1

O enunciado diz que o número de quebras mensais W de um computador tem distribuição de Poisson com média \lambda = 1,6 quebras por mês. Como queremos a probabilidade de funcionamento ao longo de dois meses, definimos a variável aleatória total de quebras em dois meses
W_{2} = W_{1} + W_{2}',
onde W_{1} e W_{2}' são independentes e cada uma tem Poisson \bigl(\lambda=1,6\bigr). A soma de duas Poisson independentes é Poisson cujo parâmetro é a soma dos parâmetros, ou seja,
W_{2}\sim \text{Poisson}\bigl(\lambda_{2}=2\times 1,6=3,2\bigr).

Passo 2

Recordando a fórmula da distribuição de Poisson: se X\sim \text{Poisson}(\lambda), então
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots

Passo 3

(a) A probabilidade de não ocorrer nenhuma quebra em dois meses é
P\bigl(W_{2}=0\bigr) =\frac{(3,2)^{0}e^{-3,2}}{0!} =e^{-3,2}.

Passo 4

(b) A probabilidade de ocorrer pelo menos uma quebra em dois meses é o complemento de não ocorrer nenhuma:
P\bigl(W_{2}\ge1\bigr) =1-P\bigl(W_{2}=0\bigr) =1-e^{-3,2}.

Resposta

(a) P(\text{nenhuma quebra em 2 meses})=e^{-3,2}.
(b) P(\text{pelo menos uma quebra em 2 meses})=1-e^{-3,2}.

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