2- Um enólogo pretende avaliar a acidez total de um vinho. Para isso seleciona aleatoriamente 16 garrafas de vinho na adega e analisa em cada garrafa o seu conteúdo por meio de um método clássico e de um dispositivo de titulação automática. Supondo normalmente distribuída a acidez total do vinho, os resultados das análises, em \mathrm{g} / \mathrm{L}, foram:
Garrafa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Clássico 4,8 3,4 2,5 3,8 4,3 3,6 3,5 3,5 4,0 3,6 6,3 3,0 5,1 3,7 2,8 3,1
Automático 6,1 5,1 2,1 4,9 6,6 4,0 4,5 1,0 4,7 3,5 8,2 3,9 6,3 4,5 3,5 3,6
Com base nos valores, obtidos na mesma garrafa, para os dois métodos de análise da acidez total do vinho, pede-se: a-) Formule as hipóteses apropriadas para verificar se há diferença entre o método clássico e o método automático b-) Teste essas hipóteses, usando \alpha=0,01 \mathrm{c}-) Encontre uma informação para o p-valor da estatística de teste d-) Tire a conclusão.

Passo 1

O enunciado fornece duas medições pareadas da acidez total em 16 garrafas, uma pelo método clássico X_i e outra pelo método automático Y_i. Definimos as diferenças
D_i = X_i - Y_i,\quad i=1,\dots,16,
e queremos testar se a média verdadeira dessas diferenças \mu_D é nula. O conteúdo aplicado é o teste t de Student para amostras pareadas.

Passo 2

Calculamos os 16 valores de D_i e em seguida os estimadores amostrais
\sum_{i=1}^{16}D_i = -11{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \bar d = \frac{-11{,}5}{16} = -0{,}71875,
e
s_d^2 = \frac{1}{15}\sum_{i=1}^{16}\bigl(D_i - \bar d\bigr)^2 = 1{,}2081 \quad\Longrightarrow\quad s_d = \sqrt{1{,}2081} = 1{,}0991.

Passo 3

A estatística de teste é
t \;=\;\frac{\bar d}{\,s_d/\sqrt{16}\,} \;=\; \frac{-0{,}71875}{1{,}0991/4} \;\approx\;-2{,}616.

Passo 4

Para \alpha=0{,}01 e 15 graus de liberdade, o valor crítico bilateral é
t_{15,\,0{,}005} = 2{,}947.
A regra de decisão é rejeitar H_0 se \lvert t\rvert > 2{,}947. Aqui \lvert -2{,}616\rvert = 2{,}616 < 2{,}947, logo não rejeitamos H_0.

Passo 5

O p-valor do teste é
p = 2\,P\bigl(T_{15}\le -2{,}616\bigr)\approx 0{,}02,
o que é maior que \alpha=0{,}01.

Passo 6

Como \lvert t\rvert não ultrapassa o valor crítico e o p-valor é maior que 0{,}01, concluímos que não há evidência estatística, ao nível de 1\%, de diferença entre o método clássico e o método automático.

Resposta

(a) H_0\colon \mu_D=0 versus H_1\colon \mu_D\neq 0.
(b) Estatística t\approx -2{,}616; como \lvert t\rvert<2{,}947, não rejeita H_0.
(c) p-valor \approx 0{,}02.
(d) Ao nível \alpha=0{,}01, não há diferença significativa entre os métodos.

Exercícios relacionados