5- Os dados abaixo representam uma amostra de 5 fábricas de uma indústria. Pede-se:- a-) Obter a equação de regressão linear do custo total em função da produção, interpretando seu coeficiente de regressão. b-) Ajustar um modelo logarítmico Y=\alpha+\beta L n(X) para o custo total como função da produção. c-) Qual modelo ajusta-se melhor aos dados, se o coeficiente de determinação do modelo exponencial for 0,9833 ? Por quê?
Custo Total (em milhões de reais) 70 44 51 61 70
Produção (em mil toneladas) 12 4 6 8 11

Passo 1

O enunciado fornece cinco pares (X_i,Y_i), onde X é a produção (em mil toneladas) e Y é o custo total (em milhões de reais). Pede-se: ajuste por regressão linear simples, ajuste por modelo logarítmico Y=\alpha+\beta\ln(X) e comparação com um modelo exponencial cujo R^2=0,9833. Usaremos fórmulas de mínimos quadrados e coeficiente de determinação para decidir qual modelo ajusta melhor.

Passo 2

Vamos primeiro ao ajuste linear \hat Y = a + bX. Calculamos as médias:
\bar X = \frac{12+4+6+8+11}{5} = 8{,}2,\quad \bar Y = \frac{70+44+51+61+70}{5} = 59{,}2.
Em seguida
S_{xx} = \sum_{i=1}^5 (X_i - \bar X)^2 = 44{,}8,\quad S_{xy} = \sum_{i=1}^5 (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y) = 152{,}8.
O coeficiente angular e o intercepto são
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{152{,}8}{44{,}8}\approx 3{,}412, \qquad a = \bar Y - b\,\bar X = 59{,}2 - 3{,}412\cdot 8{,}2\approx 31{,}226.
Logo
\hat Y = 31{,}226 + 3{,}412\,X.
O número b\approx3{,}412 significa que, para cada acréscimo de uma mil tonelada na produção, o custo total aumenta em cerca de 3{,}412 milhões de reais.

Passo 3

Agora ao modelo logarítmico \hat Y = \alpha + \beta \ln(X). Definimos Z_i = \ln(X_i) e calculamos:
\bar Z = \frac{\sum_i \ln(X_i)}{5} \approx 2{,}0281,\quad \sum (Z_i-\bar Z)^2 = S_{zz} \approx 0{,}8185,
\sum (Z_i-\bar Z)(Y_i-\bar Y)= S_{zy} \approx 20{,}7136.
Isso dá
\beta = \frac{S_{zy}}{S_{zz}} \approx \frac{20{,}7136}{0{,}8185}\approx 25{,}323, \qquad \alpha = \bar Y - \beta\,\bar Z \approx 59{,}2 -25{,}323\cdot2{,}0281\approx7{,}846.
O modelo é
\hat Y = 7{,}846 + 25{,}323\,\ln(X).
Aqui \beta indica que dY/d\ln X =25{,}323, ou seja, um aumento percentual de 1\% em X eleva Y em aproximadamente 0{,}01\times25{,}323=0{,}253 milhões de reais.

Passo 4

Para comparar os ajustes calculamos os coeficientes de determinação. Já temos
S_{yy} = \sum (Y_i-\bar Y)^2 = 534{,}8.
No modelo linear
SSR_{\rm lin} = b\,S_{xy}\approx 3{,}412\cdot152{,}8\approx521{,}3, \qquad R^2_{\rm lin} = \frac{SSR_{\rm lin}}{S_{yy}}\approx0{,}975.
No modelo logarítmico
SSR_{\rm log} = \beta\,S_{zy}\approx25{,}323\cdot20{,}7136\approx524{,}5, \qquad R^2_{\rm log} = \frac{SSR_{\rm log}}{S_{yy}}\approx0{,}981.
Foi dado R^2_{\rm exp}=0{,}9833 para o modelo exponencial. Como esse valor é o maior, conclui-se que o modelo exponencial ajusta-se melhor aos dados.

Resposta

(a) \displaystyle \hat Y = 31{,}226 + 3{,}412\,X.
(b) \displaystyle \hat Y = 7{,}846 + 25{,}323\,\ln(X).
(c) O modelo exponencial, pois seu coeficiente de determinação R^2=0{,}9833 é o mais alto.

Exercícios relacionados