1- O tempo de montagem de determinados conectores utiliza um processo já há algum tempo, que dura em média 3,5 segundos. Está sendo analisada a possibilidade de troca deste processo para um outro que se afirma possuir um tempo de montagem menor. Para esta análise foi retirada uma amostra e observados os tempos ( Y ) de montagem de conectores por um operário padrão utilizando o novo processo, em segundos: 2,5 ; 2,5; 2,6; 3,0; 3,2 ; 3,5; 3,7; 3,7; 2,1; 2,4; 2,7; 2,8; 3,1; 3,1; 3,6; 3,6; 2,5; 2,9; 2,8; 3,8.
Pede-se:
I-) a-) O dispositivo de ramos e folhas b-) a média c-) a mediana d-) a moda e-) o septuagésimo percentil f-) a variância g-) o coeficiente de variação.
II-) a-) Obter o intervalo de 95 \% de confiança para o tempo médio de montagem dos conectores utilizando o novo processo.
b) Calcule o tamanho mínimo da amostra que seria necessária para estimar a média com 99 \% de confiança e um erro de 0,5 segundos.
III-) a-) Formule as hipóteses apropriadas para investigar se a empresa deve mudar para o novo processo ou manter o atual b-) Teste essas hipóteses e tire a conclusão usando \alpha=0,01. c-) Encontre uma informação para o p-valor da estatística de teste.

Passo 1

O enunciado trata de um processo de montagem de conectores cujo tempo atual médio é \mu_{0}=3,5 s. Foi tomada uma amostra de tamanho n=20 com os tempos (em s) usando o novo processo, e pede-se:
I) estatísticas descritivas (diagrama de ramos e folhas, média, mediana, moda, 70.º percentil, variância e coeficiente de variação);
II) intervalo de confiança de 95 % para a média e tamanho de amostra para 99 % de confiança com erro máximo de 0,5 s;
III) teste de hipótese para verificar se o novo processo reduz o tempo médio, ao nível \alpha=0,01, e o p-valor.

Passo 2

Construímos o diagrama de ramos e folhas separando a parte inteira (2 e 3) e listando as partes decimais em ordem crescente:
2 | 1,4,5,5,5,6,7,8,8,9
3 | 0,1,1,2,5,6,6,7,7,8

Passo 3

Calculamos média, mediana e moda:
– Média amostral
\bar{y} = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} y_i = \frac{60{,}1}{20} = 3{,}005\text{ s}.
– Mediana (posição (n+1)/2 = 10{,}5)
\text{mediana} = \frac{y_{(10)} + y_{(11)}}{2} = \frac{2{,}9 + 3{,}0}{2} = 2{,}95\text{ s}.
– Moda: valor mais frequente é 2{,}5 (aparece 3 vezes).

Passo 4

Calculamos o 70.º percentil, a variância amostral e o coeficiente de variação:
– Posição do 70.º percentil
k = 0{,}70\,(n+1) = 0{,}70\times21 = 14{,}7,
entre y_{(14)}=3{,}2 e y_{(15)}=3{,}5.
P_{70} = 3{,}2 + 0{,}7\,(3{,}5-3{,}2) = 3{,}41\text{ s}.
– Variância amostral
s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 \approx \frac{4{,}908}{19} = 0{,}2583\;(\text{s}^2).
– Desvio-padrão
s = \sqrt{0{,}2583} = 0{,}508\text{ s}.
– Coeficiente de variação
CV = \frac{s}{\bar{y}}\times100\% = \frac{0{,}508}{3{,}005}\times100\% \approx16{,}9\%.

Passo 5

Intervalo de confiança de 95 % para \mu usando distribuição t, com df=19 e t_{0{,}975,19}\approx2{,}093:
\bar{y}\pm t_{0{,}975,19}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =3{,}005\pm2{,}093\;\frac{0{,}508}{\sqrt{20}} =3{,}005\pm0{,}238
ou seja
[2{,}767,\;3{,}243]\text{ s}.

Passo 6

Para 99 % de confiança z_{0{,}995}=2{,}576 e erro máximo E=0{,}5 s, usando \sigma\approx s:
n = \Bigl(\frac{z_{0{,}995}\,\sigma}{E}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{2{,}576\times0{,}508}{0{,}5}\Bigr)^2 \approx6{,}85
arredondando para cima, n_{\min}=7.

Passo 7

Formulamos e testamos as hipóteses unilaterais (procura-se redução):
H_{0}: \mu = 3{,}5 \quad\text{vs.}\quad H_{1}: \mu < 3{,}5.
O estatístico de teste é
t = \frac{\bar{y}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}} = \frac{3{,}005-3{,}5}{0{,}508/\sqrt{20}} \approx -4{,}35.
No nível \alpha=0{,}01, o valor crítico é t_{0{,}01,19}\approx-2{,}539. Como -4{,}35 < -2{,}539, rejeitamos H_{0} e concluímos que o novo processo reduz o tempo médio.

Passo 8

O p-valor aproximado é
p = P\bigl(T_{19} < -4{,}35\bigr)\approx0{,}0002.

Resposta

I-a) 2 | 1,4,5,5,5,6,7,8,8,9
\quad3 | 0,1,1,2,5,6,6,7,7,8
I-b) \bar{y}=3{,}005 s
I-c) mediana =2,95 s
I-d) moda =2,5 s
I-e) P_{70}=3{,}41 s
I-f) s^{2}=0{,}2583 s ^2
I-g) CV\approx16{,}9\%
II-a) IC 95 %: [2{,}767,\;3{,}243] s
II-b) n_{\min}=7
III-a) H_{0}:\mu=3{,}5 vs H_{1}:\mu<3{,}5
III-b) t\approx-4{,}35< -2{,}539, rejeita H_{0} \alpha=0{,}01
III-c) p\approx0{,}0002.

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