Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com distribuição normal de média
e desvio padrão
. A pergunta é claramente:
- Determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
-
(média), -
(desvio padrão), - deseja-se a probabilidade de
ficar entre e .
Passo 2
Entendendo a distribuição normal e a técnica que vamos usar (aula rápida, sem pânico).
- Quando
segue uma normal com média e desvio padrão , escrevemos . - Para calcular probabilidades de uma normal qualquer, usa-se a padronização para a normal padrão
, que tem média e desvio . A fórmula de padronização é:
Aqui
é a nova variável padrão;
é a média de
e
é o desvio padrão de
. A ideia: transformamos o problema para a forma
, que consultamos na tabela da normal padrão ou avaliamos por simetria.
Passo 3
Aplicando a padronização aos limites do intervalo pedido.
- Para
:
- Para
:
Portanto
onde
é a normal padrão.
Passo 4
Como avaliar
.
- A função distribuição da normal padrão é
. - Então
- Sabendo que a normal padrão é simétrica em torno de zero, vale
. Como , podemos escrever
logo
Passo 5
Usando valores tabelados/standard para
.
- O valor conhecido (tabela da normal) é
. - Então
Arredondando para quatro casas decimais, isso fica
.
Passo 6
Interpretação final rápida e dica de prova:
- A probabilidade
é a área da curva normal entre dois desvios padrões à esquerda da média ( ) até a média. - Em prova: padronize sempre com
, calcule os dos limites, transforme a probabilidade para e use a simetria para facilitar quando envolver valores negativos.