Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(90<X<100)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 5. A pergunta é claramente:
  • Determinar P(90<X<100).
Informações relevantes fornecidas:
  • \mu=100 (média),
  • \sigma=5 (desvio padrão),
  • deseja-se a probabilidade de X ficar entre 90 e 100.

Passo 2

Entendendo a distribuição normal e a técnica que vamos usar (aula rápida, sem pânico).
  • Quando X segue uma normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma).
  • Para calcular probabilidades de uma normal qualquer, usa-se a padronização para a normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1. A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a nova variável padrão; \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão de X. A ideia: transformamos o problema para a forma P(a<Z<b), que consultamos na tabela da normal padrão ou avaliamos por simetria.

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites do intervalo pedido.
  • Para X=90:
z_1=\frac{90-\mu}{\sigma}=\frac{90-100}{5}=\frac{-10}{5}=-2.
  • Para X=100:
z_2=\frac{100-\mu}{\sigma}=\frac{100-100}{5}=0.
Portanto
P(90<X<100)=P(-2<Z<0),
onde Z é a normal padrão.

Passo 4

Como avaliar P(-2<Z<0).
  • A função distribuição da normal padrão é \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Então
P(-2<Z<0)=\Phi(0)-\Phi(-2).
  • Sabendo que a normal padrão é simétrica em torno de zero, vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Como \Phi(0)=0,5, podemos escrever
\Phi(-2)=1-\Phi(2),
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P(-2<Z<0)=\Phi(0)-\Phi(-2)=0,5-(1-\Phi(2))=\Phi(2)-0,5.

Passo 5

Usando valores tabelados/standard para \Phi(2).
  • O valor conhecido (tabela da normal) é \Phi(2)\approx0,97725.
  • Então
P(-2<Z<0)=\Phi(2)-0,5\approx0,97725-0,5=0,47725.
Arredondando para quatro casas decimais, isso fica 0,4773.

Passo 6

Interpretação final rápida e dica de prova:
  • A probabilidade P(90<X<100) é a área da curva normal entre dois desvios padrões à esquerda da média ( -2\sigma) até a média.
  • Em prova: padronize sempre com Z=(X-\mu)/\sigma, calcule os z dos limites, transforme a probabilidade para \Phi e use a simetria para facilitar quando envolver valores negativos.

Resposta

0,4773

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