Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1 . Determine os valores de x para que se tenha:
P(-x<X<x)=0,68

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: a variável aleatória X segue a distribuição normal padrão, ou seja, tem média 0 e desvio padrão 1.
  • Pedido: encontrar os valores de x tais que P(-x<X<x)=0,68.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a probabilidade em termos da função de distribuição acumulada da normal padrão. Denotando por \Phi(t) a função de distribuição acumulada da normal padrão, temos
P(-x<X<x)=\Phi(x)-\Phi(-x).
Aqui \Phi(t)=P(X\le t). A expressão acima vem direto da definição de probabilidade em termos da CDF: P(a<X<b)=\Phi(b)-\Phi(a).

Passo 3

Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: para todo t,
\Phi(-t)=1-\Phi(t).
Substituindo em \Phi(x)-\Phi(-x) obtemos
P(-x<X<x)=\Phi(x)-\bigl(1-\Phi(x)\bigr)=2\Phi(x)-1.

Passo 4

Igualamos à probabilidade pedida e resolvemos para \Phi(x):
2\Phi(x)-1=0,68 \quad\Rightarrow\quad \Phi(x)=\frac{0,68+1}{2}=0,84.
Ou seja, precisamos encontrar x tal que \Phi(x)=0,84. Isso significa achar o quantil da normal padrão correspondente à área 0,84 à esquerda.

Passo 5

Para obter x usamos uma tabela da normal padrão (tabela z) ou uma calculadora com função inversa da CDF. Na tabela padrão temos, por exemplo,
\Phi(0,99)=0,8389\quad\text{e}\quad \Phi(1,00)=0,8413.
Queremos \Phi(x)=0,84, que fica entre esses dois valores. Fazemos uma interpolação linear aproximada para achar x.

Passo 6

Calculemos a interpolação:
\text{fração}=\frac{0,84-0,8389}{0,8413-0,8389}=\frac{0,0011}{0,0024}\approx 0,4583.çã
Como o intervalo entre 0,99 e 1,00 é 0,01, temos
x\approx 0,99 + 0,4583\times 0,01 \approx 0,99 + 0,004583 \approx 0,9946.

Passo 7

Interpretação final: o valor positivo x que satisfaz P(-x<X<x)=0,68 é aproximadamente 0,9946. Como a distribuição é simétrica, os valores que atendem ao enunciado são -0,9946 e 0,9946.

Resposta

x\approx 0,9946

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