Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1 . Determine os valores de
para que se tenha:
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: a variável aleatória
segue a distribuição normal padrão, ou seja, tem média e desvio padrão . - Pedido: encontrar os valores de
tais que .
Passo 2
Primeiro vamos escrever a probabilidade em termos da função de distribuição acumulada da normal padrão. Denotando por
a função de distribuição acumulada da normal padrão, temos
Aqui
. A expressão acima vem direto da definição de probabilidade em termos da CDF:
.
Passo 3
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: para todo
,
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Igualamos à probabilidade pedida e resolvemos para
:
Ou seja, precisamos encontrar
tal que
. Isso significa achar o quantil da normal padrão correspondente à área
à esquerda.
Passo 5
Para obter
usamos uma tabela da normal padrão (tabela
) ou uma calculadora com função inversa da CDF. Na tabela padrão temos, por exemplo,
Queremos
, que fica entre esses dois valores. Fazemos uma interpolação linear aproximada para achar
.
Passo 6
Calculemos a interpolação:
Como o intervalo entre
e
é
, temos
Passo 7
Interpretação final: o valor positivo
que satisfaz
é aproximadamente
. Como a distribuição é simétrica, os valores que atendem ao enunciado são
e
.