Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(X>110)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a probabilidade P(X>110).
  • Foi dado que X é normalmente distribuída com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=5.
  • Em palavras: qual a chance de uma observação dessa Normal cair acima de 110?

Passo 2

Entendendo a distribuição Normal e a padronização:
  • Uma variável aleatória X com distribuição Normal tem dois parâmetros: a média \mu (centro) e o desvio padrão \sigma (espalhamento).
  • Para calcular probabilidades de uma Normal qualquer, padroniza-se para a Normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1.
  • A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z é a Normal padrão. Essa transformação coloca qualquer Normal na escala padrão, permitindo usar tabelas ou funções da Normal padrão.

Passo 3

Aplicando a padronização ao problema:
  • Aqui \mu=100, \sigma=5 e queremos P(X>110).
  • Padronizando:
Z=\frac{X-100}{5}.
  • Para X=110 obtemos
z=\frac{110-100}{5}=\frac{10}{5}=2.
  • Assim
P(X>110)=P\!\left(Z>2\right).

Passo 4

Usando a tabela (ou função) da Normal padrão:
  • Denotando por \Phi(z) a função de distribuição acumulada da Normal padrão, tem-se
P\!\left(Z>2\right)=1-\Phi(2).
  • Consultando a tabela da Normal padrão (valor de \Phi(2)) obtém-se aproximadamente
\Phi(2)=0,97725.
  • Portanto
P\!\left(Z>2\right)=1-0,97725=0,02275\approx0,0228.

Passo 5

Interpretação final (rápida e amiga): a probabilidade de X ser maior que 110 é bem pequena — cerca de 2{,}28\%. Isso faz sentido porque 110 está a 2 desvios-padrão acima da média.

Resposta

P(X>110)=0,0228

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