Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(X<95)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=5.
  • A pergunta é: calcular P(X<95).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): probabilidades para a normal são áreas sob a curva em torno da média. Para facilitar, padronizamos X para uma variável normal padrão Z (média 0, desvio 1). A padronização transforma qualquer valor de X numa pontuação z que diz “quantos desvios-padrão” esse valor está da média. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio padrão.

Passo 3

Aplicando a fórmula para X=95:
z=\frac{95-100}{5}=\frac{-5}{5}=-1.
Interpretação: 95 está a 1 desvio-padrão abaixo da média.

Passo 4

Converter a probabilidade em termos de Z:
P(X<95)=P\!\left(Z<-1\right).
Usando a simetria da normal padrão, vale a relação
P\!\left(Z<-1\right)=\Phi(-1)=1-\Phi(1),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 5

Valor padrão conhecido (tabela ou tabela Z): \Phi(1)=0,8413. Logo
P\!\left(Z<-1\right)=1-0,8413=0,1587.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: a probabilidade de X ser menor que 95 é cerca de 15{,}87\%. Uma forma rápida de lembrar na prova é: um valor 1 desvio-padrão abaixo da média corresponde aproximadamente a 0{,}16 de probabilidade à esquerda.

Resposta

P(X<95)=0,1587

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