Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de x para que se tenha:
P(-x<X<x)=0,47

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 5. Ou seja:
X \sim N(100,\,5).
A pergunta é: determinar os valores de x tais que
P(-x < X < x) = 0,47.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \mu=100 (média);
  • \sigma=5 (desvio padrão);
  • queremos x>0 que satisfaça P(-x<X<x)=0,47.

Passo 2

Vamos transformar a probabilidade envolvendo X em probabilidade envolvendo a normal padrão Z, que é uma ferramenta padrão para trabalhar com normais. A normal padrão Z é definida por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio padrão de X. Aqui \mu=100 e \sigma=5. A ideia é expressar os limites -x e x em termos de Z. Aplicando a padronização:
P(-x<X<x)=P\!\left(\frac{-x-100}{5} < Z < \frac{x-100}{5}\right).
Para simplificar a notação, defina
a=\frac{x-100}{5}.
Então o limite inferior em Z é \dfrac{-x-100}{5}=-\dfrac{x+100}{5}=-(a+40), porque
\frac{-x-100}{5}=-\frac{x-100+200}{5}= -\left(\frac{x-100}{5}+40\right) = -(a+40).
Portanto a probabilidade vira
P(-x<X<x)=P\big(-(a+40) < Z < a\big).

Passo 3

Expressamos essa probabilidade usando a função de distribuição acumulada da normal padrão, que chamamos de \Phi(\cdot). Por definição,
P(\alpha < Z < \beta)=\Phi(\beta)-\Phi(\alpha).
Aplicando isso com \alpha=-(a+40) e \beta=a, obtemos
P(-x<X<x)=\Phi(a)-\Phi\big(-(a+40)\big).
Usamos agora a simetria da normal padrão: \Phi(-y)=1-\Phi(y). Assim
\Phi\big(-(a+40)\big)=1-\Phi(a+40).
Substituindo na expressão anterior:
P(-x<X<x)=\Phi(a)-\big(1-\Phi(a+40)\big)=\Phi(a)+\Phi(a+40)-1.
Queremos que isso seja igual a 0,47. Logo chegamos à equação
\Phi(a)+\Phi(a+40)-1=0,47.
Isolando as funções \Phi:
\Phi(a)+\Phi(a+40)=1,47.

Passo 4

Agora vamos interpretar essa equação. Note que a+40 é muito maior que a (difere por 40 unidades). Para a normal padrão, \Phi de valores muito grandes (por exemplo \Phi(10)) já é praticamente 1. Em particular, \Phi(a+40) é extremamente próximo de 1 para qualquer a razoável; numericamente \Phi(40) é 1 com erro insignificante na prática. Portanto podemos aproximar
\Phi(a+40)\approx 1.
Substituindo na equação \Phi(a)+\Phi(a+40)=1,47 obtemos aproximadamente
\Phi(a)+1 \approx 1,47 \quad\Rightarrow\quad \Phi(a)\approx 0,47.
Assim a é aproximadamente o quantil da normal padrão correspondente a 0,47, ou seja
a \approx \Phi^{-1}(0,47).
Consultando uma tabela da normal padrão (ou sabendo que \Phi(-0,07)\approx0,4721 e \Phi(-0,08)\approx0,4681), fazemos uma interpolação e obtemos
a \approx -0,075.
Uma forma prática: escolhendo a=-0,075 tem-se \Phi(-0,075)\approx 0,4702, muito próximo de 0,47. Esse valor é consistente com a aproximação anterior de \Phi(a+40)\approx1.

Passo 5

Voltamos de a para x. Lembrando que a=(x-100)/5, temos
x = 100 + 5a.
Substituindo a\approx -0,075,
x \approx 100 + 5\cdot(-0,075)=100 - 0,375 = 99,625.
Arredondando para duas casas decimais, x\approx 99,63.

Passo 6

Verificação rápida para checar se a aproximação faz sentido: com x\approx 99,625,
\frac{x-100}{5}\approx -0,075,\qquad \frac{-x-100}{5}\approx -39,925.
Então
P(-x<X<x)=\Phi(-0,075)-\Phi(-39,925)\approx 0,4702 - 0 \approx 0,4702,
que é muito próximo de 0,47. A diferença vem basicamente da aproximação de \Phi(a+40) por 1 e do arredondamento de a. Para todos os propósitos de prova sem calculadora, o resultado acima é adequado.

Resposta

x \approx 99{,}625

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