Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de
para que se tenha:
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
tem distribuição normal com média
e desvio padrão
. Ou seja:
A pergunta é: determinar os valores de
tais que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(média); -
(desvio padrão); - queremos
que satisfaça .
Passo 2
Vamos transformar a probabilidade envolvendo
em probabilidade envolvendo a normal padrão
, que é uma ferramenta padrão para trabalhar com normais. A normal padrão
é definida por
onde
é a média e
o desvio padrão de
. Aqui
e
. A ideia é expressar os limites
e
em termos de
. Aplicando a padronização:
Para simplificar a notação, defina
Então o limite inferior em
é
, porque
Portanto a probabilidade vira
Passo 3
Expressamos essa probabilidade usando a função de distribuição acumulada da normal padrão, que chamamos de
. Por definição,
Aplicando isso com
e
, obtemos
Usamos agora a simetria da normal padrão:
. Assim
Substituindo na expressão anterior:
Queremos que isso seja igual a
. Logo chegamos à equação
Isolando as funções
:
Passo 4
Agora vamos interpretar essa equação. Note que
é muito maior que
(difere por
unidades). Para a normal padrão,
de valores muito grandes (por exemplo
) já é praticamente
. Em particular,
é extremamente próximo de
para qualquer
razoável; numericamente
é
com erro insignificante na prática. Portanto podemos aproximar
Substituindo na equação
obtemos aproximadamente
Assim
é aproximadamente o quantil da normal padrão correspondente a
, ou seja
Consultando uma tabela da normal padrão (ou sabendo que
e
), fazemos uma interpolação e obtemos
Uma forma prática: escolhendo
tem-se
, muito próximo de
. Esse valor é consistente com a aproximação anterior de
.
Passo 5
Voltamos de
para
. Lembrando que
, temos
Substituindo
,
Arredondando para duas casas decimais,
.
Passo 6
Verificação rápida para checar se a aproximação faz sentido: com
,
Então
que é muito próximo de
. A diferença vem basicamente da aproximação de
por
e do arredondamento de
. Para todos os propósitos de prova sem calculadora, o resultado acima é adequado.