Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de x para que se tenha:
P(X>x)=0,26

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A variável aleatória X é normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=5.
  • Queremos achar o valor de x tal que P(X>x)=0,26.
As perguntas que o enunciado faz:
  • Determinar o(s) valor(es) de x que satisfazem P(X>x)=0,26.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para trabalhar com probabilidades de uma normal qualquer é muito comum padronizar para a normal padrão. Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma o desvio padrão. A variável Z tem distribuição normal padrão, ou seja média 0 e desvio 1. A vantagem é que todas as tabelas e calculadoras dão probabilidades para Z, então transformamos problemas sobre X em problemas sobre Z.

Passo 3

Converter a probabilidade dada para forma cumulativa (mais fácil de usar em tabelas):
P(X>x)=0,26 \quad\Longrightarrow\quad P(X\le x)=1-0,26=0,74.
Ou seja queremos o valor x tal que a função de distribuição acumulada de X em x seja 0,74.

Passo 4

Padronizamos a variável dentro da probabilidade:
P(X\le x)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z\le\frac{x-100}{5}\right)=0,74.
Portanto precisamos encontrar o número z^\star tal que
\Phi(z^\star)=0,74,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Depois recuperamos x por
x=100+5z^\star.

Passo 5

Encontrar z^\star=\Phi^{-1}(0,74) usando tabela de normal padrão (ou calculadora). Pela tabela:
\Phi(0,64)=0,7389,\qquad \Phi(0,65)=0,7422.
Queremos 0,74, que está entre esses valores. Fazendo interpolação linear para maior precisão:
z^\star=0,64+\frac{0,74-0,7389}{0,7422-0,7389}\cdot0,01.
Calculemos o numerador e denominador:
0,74-0,7389=0,0011,\qquad 0,7422-0,7389=0,0033.
Logo
z^\star=0,64+\frac{0,0011}{0,0033}\cdot0,01=0,64+0,3333\cdot0,01\approx0,6433.
(Observação prática: se usar uma calculadora estatística, pedir \Phi^{-1}(0,74) dá diretamente z^\star\approx0,643.)

Passo 6

Agora calculamos x:
x=100+5\cdot z^\star=100+5\cdot0,6433=100+3,2165\approx103,2165.
Arredondando de forma usual para duas casas decimais,
x\approx103,22.
Interpretação rápida: aproximadamente P(X>103,22)=0,26. Se preferir mais casas decimais, usar a inversa da normal na calculadora para obter z^\star mais preciso.

Resposta

x\approx103,22

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