Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de
para que se tenha:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A variável aleatória
é normal com média e desvio padrão . - Queremos achar o valor de
tal que .
As perguntas que o enunciado faz:
- Determinar o(s) valor(es) de
que satisfazem .
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para trabalhar com probabilidades de uma normal qualquer é muito comum padronizar para a normal padrão. Definimos a variável padrão
onde
é a média de
e
o desvio padrão. A variável
tem distribuição normal padrão, ou seja média
e desvio
. A vantagem é que todas as tabelas e calculadoras dão probabilidades para
, então transformamos problemas sobre
em problemas sobre
.
Passo 3
Converter a probabilidade dada para forma cumulativa (mais fácil de usar em tabelas):
Ou seja queremos o valor
tal que a função de distribuição acumulada de
em
seja
.
Passo 4
Padronizamos a variável dentro da probabilidade:
Portanto precisamos encontrar o número
tal que
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Depois recuperamos
por
Passo 5
Encontrar
usando tabela de normal padrão (ou calculadora). Pela tabela:
Queremos
, que está entre esses valores. Fazendo interpolação linear para maior precisão:
Calculemos o numerador e denominador:
Logo
(Observação prática: se usar uma calculadora estatística, pedir
dá diretamente
.)
Passo 6
Agora calculamos
:
Arredondando de forma usual para duas casas decimais,
Interpretação rápida: aproximadamente
. Se preferir mais casas decimais, usar a inversa da normal na calculadora para obter
mais preciso.