Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de x para que se tenha:
P(X<-x) \cup P(X>x)=0,05

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X segue uma normal com média 100 e desvio padrão 5. Ou seja,
X \sim N(100,\,5).
Pede-se determinar valores de x tais que
P(X<-x)\cup P(X>x)=0,05.
Vou interpretar aqui que os limites simétricos pedidos são centrados na média 100, isto é, que o enunciado quer os desvios x tais que
P\bigl(X<100-x\\ \text{ ou }\\ X>100+x\bigr)=0,05.
(Se o enunciado estivesse literalmente usando os pontos -x e x em relação a zero, seria uma situação diferente, mas a interpretação simétrica em torno da média é a que costuma aparecer em provas.)

Passo 2

Explicar o que significa o evento e transformar em probabilidade das caudas. O evento `` X<100-x ou X>100+x‘’ consiste nas duas caudas simétricas fora do intervalo central (100-x,\,100+x). Como essas duas partes são disjuntas, a probabilidade total é a soma das probabilidades das duas caudas:
P\bigl(X<100-x\bigr)+P\bigl(X>100+x\bigr)=0,05.

Passo 3

Usar a simetria da normal em torno da média. A distribuição normal é simétrica em relação à média 100. Isso implica que as duas caudas simétricas têm a mesma probabilidade. Logo cada cauda tem probabilidade metade de 0,05:
P\bigl(X>100+x\bigr)=P\bigl(X<100-x\bigr)=\frac{0,05}{2}=0,025.

Passo 4

Padronizar a variável (transformar em normal padrão). Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-100}{5},
que tem distribuição N(0,1) (média zero e desvio padrão 1). Vamos escrever P\bigl(X>100+x\bigr) em termos de Z:
P\bigl(X>100+x\bigr)=P\!\left(\frac{X-100}{5}>\frac{x}{5}\right)=P\bigl(Z>\tfrac{x}{5}\bigr).

Passo 5

Relacionar a probabilidade de cauda com a função de distribuição da normal padrão. Sabemos que
P\bigl(Z>\tfrac{x}{5}\bigr)=0,025
é equivalente a
P\bigl(Z\le \tfrac{x}{5}\bigr)=1-0,025=0,975.
Portanto \tfrac{x}{5} é o quantil z_{0,975} da normal padrão, isto é o valor de z tal que P(Z\le z)=0,975.

Passo 6

Ler o valor crítico da normal padrão. Pelas tabelas da normal padrão (ou pela prática comum), tem-se
z_{0,975}\approx 1,96.
Assim
\frac{x}{5}=1,96.

Passo 7

Calcular x. Multiplicando por 5:
x=5\cdot 1,96=9,8.

Passo 8

Determinar os pontos de corte na escala de X. Os limites do intervalo central com 95\% de probabilidade (ou seja, com 0,05 nas duas caudas juntas) são
100-x=100-9,8=90,2
e
100+x=100+9,8=109,8.

Resposta

x=9,8
100-x=90,2 e 100+x=109,8

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