Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de
para que se tenha:
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
segue uma normal com média
e desvio padrão
. Ou seja,
Pede-se determinar valores de
tais que
Vou interpretar aqui que os limites simétricos pedidos são centrados na média
, isto é, que o enunciado quer os desvios
tais que
(Se o enunciado estivesse literalmente usando os pontos
e
em relação a zero, seria uma situação diferente, mas a interpretação simétrica em torno da média é a que costuma aparecer em provas.)
Passo 2
Explicar o que significa o evento e transformar em probabilidade das caudas. O evento ``
ou
‘’ consiste nas duas caudas simétricas fora do intervalo central
. Como essas duas partes são disjuntas, a probabilidade total é a soma das probabilidades das duas caudas:
Passo 3
Usar a simetria da normal em torno da média. A distribuição normal é simétrica em relação à média
. Isso implica que as duas caudas simétricas têm a mesma probabilidade. Logo cada cauda tem probabilidade metade de
:
Passo 4
Padronizar a variável (transformar em normal padrão). Definimos a variável padrão
que tem distribuição
(média zero e desvio padrão
). Vamos escrever
em termos de
:
Passo 5
Relacionar a probabilidade de cauda com a função de distribuição da normal padrão. Sabemos que
é equivalente a
Portanto
é o quantil
da normal padrão, isto é o valor de
tal que
.
Passo 6
Ler o valor crítico da normal padrão. Pelas tabelas da normal padrão (ou pela prática comum), tem-se
Assim
Passo 7
Calcular
. Multiplicando por
:
Passo 8
Determinar os pontos de corte na escala de
. Os limites do intervalo central com
de probabilidade (ou seja, com
nas duas caudas juntas) são
e