Suponha que as frequências indesejadas para um determinado sinal elétrico tenham uma variação normal com média 60 Hz e desvio padrão 15 Hz .
a) Qual a probabilidade desse sinal elétrico possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a essas frequências indesejáveis? 0,6568
b) Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação por frequências indesejáveis seja de 10%. 40,8
a) Qual a probabilidade desse sinal elétrico possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a essas frequências indesejáveis? 0,6568
b) Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação por frequências indesejáveis seja de 10%. 40,8
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, bem devagarinho para ninguém entrar em pânico.
- Informação fornecida (peguei estes dados do enunciado): a variação das frequências indesejáveis segue uma distribuição normal com média
Hz e desvio padrão Hz. Ou seja, a variável aleatória que representa essas frequências pode ser escrita como com e . - Perguntas do enunciado:
(a) Qual a probabilidade de o sinal possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a essas frequências indesejáveis?
(b) Qual a maior frequência do sinal (um valor de corte) para que a probabilidade de contaminação por frequências indesejáveis seja de?
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
- A distribuição normal:
significa que as probabilidades são dadas pela curva em sino com média e dispersão medida por . - Padronização: para calcular probabilidades usamos a variável padronizada
que satisfaz
(ou seja, média
e desvio padrão
). Isso serve para usar tabelas ou calculadora da distribuição normal padrão.
- Função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão: denotamos por
. Assim, para um intervalo qualquer,
Vou aplicar isso nas duas partes. Se aparecer na tabela o valor negativo, podemos usar a simetria
.
Passo 3
Resolvendo a parte (a): calcular
.
- Primeiro padronizo os limites:
- Portanto
- Usando simetria para
:
- Agora consultando tabela ou calculadora da normal padrão (aqui usei valores tabelados/por calculadora para quatro casas decimais):
- Substituindo:
- Arredondando conforme a resposta esperada e reconhecendo pequenas diferenças de tabela, obtemos aproximadamente
(o resultado varia levemente dependendo da tabela/precisão da calculadora).
Passo 4
Interpretação do resultado da parte (a) (tipo pequeno resumo didático): a probabilidade encontrada significa que, se pegarmos muitas amostras dessa distribuição de frequências indesejáveis, cerca de
delas cairiam entre 40 e 70 Hz — ou seja, é bastante provável que essas componentes apareçam nesse intervalo.
Passo 5
Resolvendo a parte (b): “Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação seja de
?” (interpretação usada: encontrar o valor
tal que
, ou seja, o 10.º percentil da distribuição).
- Em termos de
, queremos . Pela tabela inversa da normal padrão sabe-se que
porque
.
- Voltando para
, usamos a relação de padronização:
- Substituindo os valores:
- Arredondando para uma casa decimal (como no enunciado da resposta fornecida), temos
Hz.
Passo 6
Comentário final rápido e incentivo: pronto — conseguimos as duas respostas aplicando a padronização e consultando a tabela da normal padrão. Se a tabela que estiver usando tiver pequenas diferenças, os resultados numéricos podem variar na terceira ou quarta casa decimal, mas o procedimento é exatamente esse. Força aí que isso cai na prova com jeitinho!
Resposta
(a)
(b)
(b)