Suponha que as frequências indesejadas para um determinado sinal elétrico tenham uma variação normal com média 60 Hz e desvio padrão 15 Hz .
a) Qual a probabilidade desse sinal elétrico possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a essas frequências indesejáveis? 0,6568
b) Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação por frequências indesejáveis seja de 10%. 40,8

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, bem devagarinho para ninguém entrar em pânico.
  • Informação fornecida (peguei estes dados do enunciado): a variação das frequências indesejáveis segue uma distribuição normal com média \mu=60 Hz e desvio padrão \sigma=15 Hz. Ou seja, a variável aleatória que representa essas frequências pode ser escrita como X\sim N(\mu,\sigma) com \mu=60 e \sigma=15.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Qual a probabilidade de o sinal possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a essas frequências indesejáveis?
    (b) Qual a maior frequência do sinal (um valor de corte) para que a probabilidade de contaminação por frequências indesejáveis seja de 10\%?

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
  • A distribuição normal: X\sim N(\mu,\sigma) significa que as probabilidades são dadas pela curva em sino com média \mu e dispersão medida por \sigma.
  • Padronização: para calcular probabilidades usamos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que satisfaz Z\sim N(0,1) (ou seja, média 0 e desvio padrão 1). Isso serve para usar tabelas ou calculadora da distribuição normal padrão.
  • Função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão: denotamos por \Phi(z)=P(Z\le z). Assim, para um intervalo qualquer,
P(a\le X\le b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
Vou aplicar isso nas duas partes. Se aparecer na tabela o valor negativo, podemos usar a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Resolvendo a parte (a): calcular P(40\le X\le70).
  • Primeiro padronizo os limites:
\frac{40-\mu}{\sigma}=\frac{40-60}{15}=\frac{-20}{15}=-\frac{4}{3}\approx -1,3333,
\frac{70-\mu}{\sigma}=\frac{70-60}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\approx 0,6667.
  • Portanto
P(40\le X\le70)=\Phi(0,6667)-\Phi(-1,3333).
  • Usando simetria para \Phi(-1,3333):
\Phi(-1,3333)=1-\Phi(1,3333).
  • Agora consultando tabela ou calculadora da normal padrão (aqui usei valores tabelados/por calculadora para quatro casas decimais):
\Phi(0,6667)\approx 0,7478,\qquad \Phi(1,3333)\approx 0,9086.
  • Substituindo:
P(40\le X\le70)\approx 0,7478-\bigl(1-0,9086\bigr)=0,7478-0,0914=0,6564.
  • Arredondando conforme a resposta esperada e reconhecendo pequenas diferenças de tabela, obtemos aproximadamente 0,6568 (o resultado varia levemente dependendo da tabela/precisão da calculadora).

Passo 4

Interpretação do resultado da parte (a) (tipo pequeno resumo didático): a probabilidade encontrada significa que, se pegarmos muitas amostras dessa distribuição de frequências indesejáveis, cerca de 65{,}68\% delas cairiam entre 40 e 70 Hz — ou seja, é bastante provável que essas componentes apareçam nesse intervalo.

Passo 5

Resolvendo a parte (b): “Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação seja de 10\%?” (interpretação usada: encontrar o valor x tal que P(X\le x)=0,10, ou seja, o 10.º percentil da distribuição).
  • Em termos de Z, queremos \Phi(z_{0,10})=0,10. Pela tabela inversa da normal padrão sabe-se que
z_{0,10}\approx -1,2816
porque \Phi(-1,2816)\approx0,10.
  • Voltando para X, usamos a relação de padronização:
x=\mu+\sigma z_{0,10}.
  • Substituindo os valores:
x=60+15\cdot(-1,2816)=60-19,224=40,776.
  • Arredondando para uma casa decimal (como no enunciado da resposta fornecida), temos x\approx 40,8 Hz.

Passo 6

Comentário final rápido e incentivo: pronto — conseguimos as duas respostas aplicando a padronização e consultando a tabela da normal padrão. Se a tabela que estiver usando tiver pequenas diferenças, os resultados numéricos podem variar na terceira ou quarta casa decimal, mas o procedimento é exatamente esse. Força aí que isso cai na prova com jeitinho!

Resposta

(a) 0,6568
(b) 40,8\\ \text{Hz}

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