Um teste de inteligência foi aplicado a 1000 alunos de uma escola superior, obtendo-se uma distribuição normal, fornecendo os seguintes parâmetros mu=32 e sigma^{2}=16.
Qual a porcentagem dos casos situados acima do escore 38?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Número de alunos: 1000 (informação presente no enunciado).
  • Média dos escores: \mu = 32.
  • Variância dos escores: \sigma^{2} = 16.
    A pergunta é: Qual a porcentagem dos casos situados acima do escore 38?

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática).
Quando uma variável X tem distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, escreve-se X \sim N(\mu,\sigma^{2}). Para calcular probabilidades do tipo P(X>a) é muito prático transformar X numa variável normal padrão Z, definida por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
A variável Z tem distribuição N(0,1) (média 0 e desvio 1). Assim
P(X>38)=P\!\left(Z>\frac{38-\mu}{\sigma}\right).
A função \Phi(z) é a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é \Phi(z)=P(Z\le z). Logo
P(Z>z)=1-\Phi(z).
Em provas sem calculadora normalmente usa-se tabela da normal padrão (ou memória de valores comuns). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão \sigma a partir da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{16}=4.
Agora calcular o escore padronizado (z-score) para X=38:
z=\frac{38-\mu}{\sigma}=\frac{38-32}{4}=\frac{6}{4}=1,5.

Passo 4

Interpretar o z-score e buscar a probabilidade na normal padrão. Queremos
P(X>38)=P(Z>1,5)=1-\Phi(1,5).
Uma tabela da normal padrão (ou calculadora) dá \Phi(1,5)\approx 0,9332 (valor tabelado comum). Portanto
P(Z>1,5)=1-0,9332=0,0668.

Passo 5

Converter a probabilidade em porcentagem e, se desejar, em número de alunos. A probabilidade 0,0668 corresponde a
0,0668 \times 100\% = 6,68\%.
Em termos de número de alunos, em uma turma de 1000 alunos espera-se aproximadamente
1000 \times 0,0668 \approx 66{,}8 \text{ alunos}\approx 67 \text{ alunos}.

Resposta

6,68\%

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