Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
P(X<-1,47)

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X segue a normal padrão, isto é X\sim N(0,1). A pergunta é:
  • Determinar P(X<-1,47).
Informações relevantes:
  • \mu=0 (média) e \sigma=1 (desvio padrão).
  • Queremos a probabilidade acumulada até x=-1,47.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão. Seja Z uma variável com distribuição normal padrão. A densidade de probabilidade é
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2},
e a função de distribuição acumulada é
\Phi(z)=P(Z\le z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,dt.
Importante: essa integral não tem expressão elementar fechada, por isso, em provas usa‑se tabela da normal padrão ou calculadora/ software para obter valores de \Phi(z).

Passo 3

Uma propriedade muito útil da normal padrão é a simetria em torno de zero. Para z>0 vale
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Explicação curta e intuitiva: a curva é simétrica, então a área à esquerda de -z é igual à área à direita de z, e a área à direita de z é 1-\Phi(z). Essa propriedade permite usar tabelas que só dão \Phi(z) para z\ge0.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso com z=1,47:
P(X<-1,47)=\Phi(-1,47)=1-\Phi(1,47).

Passo 5

Agora consultamos uma tabela da normal padrão (ou uma calculadora). Na tabela, para z=1,47 (linha 1,4 e coluna 0,07) obtemos
\Phi(1,47)=0,9292.
(ou seja, peguei o valor \Phi(1,47)=0,9292 na tabela da normal padrão.)

Passo 6

Calcule a probabilidade procurada usando a simetria:
P(X<-1,47)=1-0,9292=0,0708.
Interpretação rápida: aproximadamente 7{,}08\% das observações da normal padrão ficam abaixo de -1,47.

Passo 7

Dica para a prova: se der z negativo, sempre transforme com a simetria para usar a tabela positiva; anote sempre se a tabela fornece \Phi(z) acumulada à esquerda. Respira fundo — você conseguiu!

Resposta

0,0708

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