Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(100<X<115)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória com distribuição normal e pede uma probabilidade. Dados fornecidos:
  • Média: \mu=100.
  • Desvio padrão: \sigma=5.
  • Pedido: calcular P(100<X<115).

Passo 2

O que é preciso saber (aula rápida): a distribuição normal N(\mu,\sigma^2) é uma curva em forma de sino. Para facilitar o cálculo de probabilidades usamos a normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. A padronização transforma X em Z pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original,
  • \mu é a média de X,
  • \sigma é o desvio padrão de X,
  • Z é a variável normal padrão resultante.
Isso serve porque tabelas (ou calculadoras) dão probabilidades para Z, não diretamente para X.

Passo 3

Padronizando os limites da probabilidade pedida: calcular os z-scores das duas extremidades.
Para x=100:
z_1=\frac{100-\mu}{\sigma}=\frac{100-100}{5}=0.
Para x=115:
z_2=\frac{115-\mu}{\sigma}=\frac{115-100}{5}=\frac{15}{5}=3.
Portanto
P(100<X<115)=P(0<Z<3).

Passo 4

Agora usamos propriedades da normal padrão. Denotando por \Phi(t) a função distribuição acumulada da normal padrão,
P(0<Z<3)=\Phi(3)-\Phi(0).
Sabe-se que \Phi(0)=0,5 (simetria da normal). O valor de \Phi(3) é obtido em tabela da normal padrão (ou calculadora): peguei esse valor na tabela padrão e é \Phi(3)=0,99865.

Passo 5

Calcular a diferença:
P(0<Z<3)=0,99865-0,5=0,49865.
Interpretação: a probabilidade de X cair entre 100 e 115 é aproximadamente 0,49865, ou seja cerca de 49{,}865\%. Boa notícia: é quase metade, porque 100 é exatamente a média.

Resposta

P(100<X<115)=0,49865

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