Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória com distribuição normal e pede uma probabilidade. Dados fornecidos:
- Média:
. - Desvio padrão:
. - Pedido: calcular
.
Passo 2
O que é preciso saber (aula rápida): a distribuição normal
é uma curva em forma de sino. Para facilitar o cálculo de probabilidades usamos a normal padrão
, que tem média
e desvio padrão
. A padronização transforma
em
pela fórmula
onde:
-
é a variável original, -
é a média de , -
é o desvio padrão de , -
é a variável normal padrão resultante.
Isso serve porque tabelas (ou calculadoras) dão probabilidades para
, não diretamente para
.
Passo 3
Padronizando os limites da probabilidade pedida: calcular os
-scores das duas extremidades.
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 4
Agora usamos propriedades da normal padrão. Denotando por
a função distribuição acumulada da normal padrão,
Sabe-se que
(simetria da normal). O valor de
é obtido em tabela da normal padrão (ou calculadora): peguei esse valor na tabela padrão e é
.
Passo 5
Calcular a diferença:
Interpretação: a probabilidade de
cair entre 100 e 115 é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Boa notícia: é quase metade, porque 100 é exatamente a média.