Supondo que \binom{99}{95}=a e \binom{99}{84}=b, expresse \binom{100}{95} em termos de a e b. (Sugestão: Não calcule as expressõos acima, para resolver o problema.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\binom{99}{95}=a
\binom{99}{84}=b
E pede para expressar
\binom{100}{95}
em termos de a e b. Vou usar as informações dadas sem calcular valores numéricos grandes.

Passo 2

Uma identidade fundamental que vou usar é a identidade de Pascal:
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}.
Intuição rápida: ao escolher k elementos de n, ou não escolhemos um elemento fixo (então escolhemos k dos n-1 restantes) ou escolhemos esse elemento (então escolhemos os outros k-1 dos n-1). Essa soma conta todas as possibilidades sem sobreposição.

Passo 3

Aplicando a identidade de Pascal com n=100 e k=95, temos
\binom{100}{95}=\binom{99}{95}+\binom{99}{94}.
Pela informação do enunciado, \binom{99}{95}=a, logo
\binom{100}{95}=a+\binom{99}{94}.

Passo 4

Usamos a simetria dos binomiais para reescrever \binom{99}{94}. A simetria é
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.
Assim
\binom{99}{94}=\binom{99}{99-94}=\binom{99}{5}.
Portanto
\binom{100}{95}=a+\binom{99}{5}.

Passo 5

Agora relacionamos \binom{99}{5} com \binom{99}{4}. Há uma relação de recorrência multiplicativa:
\binom{n}{k+1}=\binom{n}{k}\cdot\frac{n-k}{k+1},
que vem direto das definições com fatorial. Aplicando com n=99 e k=4,
\binom{99}{5}=\binom{99}{4}\cdot\frac{99-4}{5}.
Mas \binom{99}{4}=\binom{99}{95}=a (pois 99-4=95), então
\binom{99}{5}=a\cdot\frac{95}{5}=a\cdot 19.

Passo 6

Voltando à expressão para \binom{100}{95}:
\binom{100}{95}=a+\binom{99}{5}=a+19a=20a.
Observação: b não foi necessário para a conta — é um dado que não é usado aqui.

Resposta

\,20a

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