Supondo que
e
, expresse
em termos de
e
. (Sugestão: Não calcule as expressõos acima, para resolver o problema.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
E pede para expressar
em termos de
e
. Vou usar as informações dadas sem calcular valores numéricos grandes.
Passo 2
Uma identidade fundamental que vou usar é a identidade de Pascal:
Intuição rápida: ao escolher
elementos de
, ou não escolhemos um elemento fixo (então escolhemos
dos
restantes) ou escolhemos esse elemento (então escolhemos os outros
dos
). Essa soma conta todas as possibilidades sem sobreposição.
Passo 3
Aplicando a identidade de Pascal com
e
, temos
Pela informação do enunciado,
, logo
Passo 4
Usamos a simetria dos binomiais para reescrever
. A simetria é
Assim
Portanto
Passo 5
Agora relacionamos
com
. Há uma relação de recorrência multiplicativa:
que vem direto das definições com fatorial. Aplicando com
e
,
Mas
(pois
), então
Passo 6
Voltando à expressão para
:
Observação:
não foi necessário para a conta — é um dado que não é usado aqui.