(a) Verifique que para dois eventos quaisquer, A_{1} e A_{2}, temos que P\left(A_{1} \cup A_{2}\right) \leq P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right).
(b) Verifique que para quaisquer n eventos A_{1}, \ldots, A_{n}, temos que
P\left(A_{1} \cup \ldots \cup A_{n}\right) \leq P\left(A_{1}\right)+\ldots+P\left(A_{n}\right)
[Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em (b) é denominado desigualdade de Boole.]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • (a) Mostrar que, para quaisquer dois eventos A_{1} e A_{2},
P\!\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\le P\!\left(A_{1}\right)+P\!\left(A_{2}\right).
  • (b) Mostrar que, para quaisquer n eventos A_{1},\ldots,A_{n},
P\!\left(A_{1}\cup\ldots\cup A_{n}\right)\le P\!\left(A_{1}\right)+\ldots+P\!\left(A_{n}\right).
Informações dadas (supostas pelo enunciado): estamos num espaço de probabilidade com função de probabilidade P que satisfaz as propriedades usuais (probabilidades não-negativas, P(\varnothing)=0 e aditividade para eventos disjuntos). Nada mais é pedido além de verificar as desigualdades acima.

Passo 2

Pequeno lema que vamos usar e que é útil: monotonicidade de P. Quero mostrar que, se B\subset C (ou seja, B está contido em C), então
P(B)\le P\text{(C)}.
Explicação e prova: como C pode ser escrito como união disjunta de B com a diferença C\setminus B, temos
C = B \cup (C\setminus B),
onde B e C\setminus B são disjuntos. Pela aditividade de P em eventos disjuntos,
P\text{(C)}=P(B)+P(C\setminus B).
Como P(C\setminus B)\ge 0 (probabilidades são não-negativas), segue que
P\text{(C)}\ge P(B),
ou seja,
P(B)\le P\text{(C)}.
Comentário curto: este lema é intuitivo — se um evento está contido num outro, a probabilidade do contido não pode ser maior que a do contenedor.

Passo 3

Agora provamos a parte (a) para dois eventos A_{1} e A_{2}. Vou usar uma decomposição em conjuntos para evitar assumir fórmulas prontas demais. Observe que
A_{2} = (A_{2}\cap A_{1}) \cup (A_{2}\setminus A_{1}),
união disjunta. Assim, A_{1}\cup A_{2} pode ser reescrito como união disjunta também:
A_{1}\cup A_{2} = A_{1} \cup (A_{2}\setminus A_{1}).
Aqui A_{1} e A_{2}\setminus A_{1} são disjuntos por construção. Pela aditividade de P em conjuntos disjuntos,
P\!\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=P(A_{1})+P(A_{2}\setminus A_{1}).
Usando o lema da monotonicidade (Passo 2), como A_{2}\setminus A_{1}\subset A_{2}, temos
P(A_{2}\setminus A_{1})\le P(A_{2}).
Substituindo na igualdade anterior obtemos
P\!\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\le P(A_{1})+P(A_{2}).
Pronto: a desigualdade para dois eventos está verificada. Intuitivamente: quando somamos P(A_{1})+P(A_{2}) contamos duas vezes a interseção, por isso a probabilidade da união não pode exceder essa soma.

Passo 4

Preparação para (b): vou usar indução matemática sobre n. Primeiro, enuncio o que vou provar por indução: para todo n\ge 1,
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)\le \sum_{i=1}^{n} P(A_{i}).
Base da indução n=1: é trivial, pois
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{1} A_{i}\right)=P(A_{1})=\sum_{i=1}^{1}P(A_{i}).
Logo a desigualdade vale com igualdade para n=1.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que a afirmação seja verdadeira para algum n\ge 1, isto é, suponha a hipótese de indução
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)\le \sum_{i=1}^{n} P(A_{i}).
Queremos provar que então vale para n+1:
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_{i}\right)\le \sum_{i=1}^{n+1} P(A_{i}).

Passo 6

Aplicamos a desigualdade já provada em (a) ao par de eventos
\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)\quad\text{e}\quad A_{n+1}.
Pelo item (a) temos
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_{i}\right)=P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\;\cup\; A_{n+1}\right) \le P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right) + P(A_{n+1}).
Agora usamos a hipótese de indução para substituir o primeiro termo do lado direito:
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_{i}\right) \le \left(\sum_{i=1}^{n} P(A_{i})\right) + P(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} P(A_{i}).
Isso completa o passo indutivo.

Passo 7

Concluímos por princípio da indução matemática que, para todo n\ge 1,
P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)\le \sum_{i=1}^{n} P(A_{i}).
Esta desigualdade é conhecida como desigualdade de Boole. Intuitivamente, ela formaliza a ideia de que somar as probabilidades individuais pode contar interseções várias vezes, logo a probabilidade da união não passa dessa soma.

Resposta

P\!\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\le P\!\left(A_{1}\right)+P\!\left(A_{2}\right)
P\!\left(A_{1}\cup\ldots\cup A_{n}\right)\le P\!\left(A_{1}\right)+\ldots+P\!\left(A_{n}\right)

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