(a) Verifique que para dois eventos quaisquer,
e
, temos que
.
(b) Verifique que para quaisquer
eventos
, temos que
[Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em (b) é denominado desigualdade de Boole.]
(b) Verifique que para quaisquer
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- (a) Mostrar que, para quaisquer dois eventos
e ,
- (b) Mostrar que, para quaisquer
eventos ,
Informações dadas (supostas pelo enunciado): estamos num espaço de probabilidade com função de probabilidade
que satisfaz as propriedades usuais (probabilidades não-negativas,
e aditividade para eventos disjuntos). Nada mais é pedido além de verificar as desigualdades acima.
Passo 2
Pequeno lema que vamos usar e que é útil: monotonicidade de
. Quero mostrar que, se
(ou seja,
está contido em
), então
Explicação e prova: como
pode ser escrito como união disjunta de
com a diferença
, temos
onde
e
são disjuntos. Pela aditividade de
em eventos disjuntos,
Como
(probabilidades são não-negativas), segue que
ou seja,
Comentário curto: este lema é intuitivo — se um evento está contido num outro, a probabilidade do contido não pode ser maior que a do contenedor.
Passo 3
Agora provamos a parte (a) para dois eventos
e
. Vou usar uma decomposição em conjuntos para evitar assumir fórmulas prontas demais. Observe que
união disjunta. Assim,
pode ser reescrito como união disjunta também:
Aqui
e
são disjuntos por construção. Pela aditividade de
em conjuntos disjuntos,
Usando o lema da monotonicidade (Passo 2), como
, temos
Substituindo na igualdade anterior obtemos
Pronto: a desigualdade para dois eventos está verificada. Intuitivamente: quando somamos
contamos duas vezes a interseção, por isso a probabilidade da união não pode exceder essa soma.
Passo 4
Preparação para (b): vou usar indução matemática sobre
. Primeiro, enuncio o que vou provar por indução: para todo
,
Base da indução
: é trivial, pois
Logo a desigualdade vale com igualdade para
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que a afirmação seja verdadeira para algum
, isto é, suponha a hipótese de indução
Queremos provar que então vale para
:
Passo 6
Aplicamos a desigualdade já provada em (a) ao par de eventos
Pelo item (a) temos
Agora usamos a hipótese de indução para substituir o primeiro termo do lado direito:
Isso completa o passo indutivo.
Passo 7
Concluímos por princípio da indução matemática que, para todo
,
Esta desigualdade é conhecida como desigualdade de Boole. Intuitivamente, ela formaliza a ideia de que somar as probabilidades individuais pode contar interseções várias vezes, logo a probabilidade da união não passa dessa soma.