Uma variável aleatória
que tem distribuição Weibull, com função densidade de probabilidade
, tem a seguinte esperança:
Uma variável Rayleigh, que tem a densidade
, é um caso particular da Weibull.
Conhecendo a fórmula da esperança de uma variável Weibull, qual é a esperança de uma variável Rayleigh? (lembre-se que
e
)
Conhecendo a fórmula da esperança de uma variável Weibull, qual é a esperança de uma variável Rayleigh? (lembre-se que
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer usar o fato de que a distribuição Rayleigh
f(x\mid \theta)=\theta\,x\,e^{-\frac{\theta}{2}x^2}
é só um caso especial da Weibull
f(x\mid \alpha,\beta)=\alpha\,\beta\,x^{\beta-1}e^{-\alpha x^\beta}
e a gente já sabe que, para Weibull,
E(X)=\alpha^{-1/\beta}\,\Gamma\bigl(1+1/\beta\bigr).
Então o que precisa rolar:
- identificar qual é o
e o que viram Rayleigh, - usar a fórmula da esperança da Weibull,
- mandar ver na função Gamma (lembra que
).
Passo 2
Vamos comparar as duas densidades termo a termo:
Weibull:
Rayleigh:
Weibull:
Rayleigh:
- O
está elevado a 1, então ⇒ . - No expoente a gente vê
deve bater com , logo .
Passo 3
Agora é só colocar isso na fórmula da esperança da Weibull:
E(X)=\alpha^{-1/\beta}\,\Gamma\bigl(1+1/\beta\bigr)
com
e
.
Isso dá
Isso dá
E(X)=\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)^{-1/2}\,\Gamma\bigl(1+\tfrac12\bigr)
=\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)^{-1/2}\,\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr).
Passo 4
Lembra que
\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr)
=\tfrac12\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)
=\tfrac12\,\sqrt{\pi}.
E também
\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)^{-1/2}
=\sqrt{\frac{2}{\theta}}.
Então
E(X)
=\sqrt{\tfrac{2}{\theta}}\;\times\;\tfrac12\sqrt{\pi}
=\tfrac{\sqrt{2\pi}}{2\,\sqrt{\theta}}
=\sqrt{\frac{\pi}{2\,\theta}}.
Resposta
E(X)=\sqrt{\frac{\pi}{2\,\theta}}.