Uma variável aleatória X que tem distribuição Weibull, com função densidade de probabilidade f(x mid alpha, beta)=alpha beta x^beta-1 exp -alpha x^beta, tem a seguinte esperança:
E(X)=alpha^-1 / beta Gamma(1+beta^-1)
Uma variável Rayleigh, que tem a densidade f(x mid theta)=theta x exp -theta2 x^2, é um caso particular da Weibull.
Conhecendo a fórmula da esperança de uma variável Weibull, qual é a esperança de uma variável Rayleigh? (lembre-se que Gamma(n+1)=n Gamma(n) e Gamma(1 / 2)=raizpi )

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer usar o fato de que a distribuição Rayleigh
f(x\mid \theta)=\theta\,x\,e^{-\frac{\theta}{2}x^2}
é só um caso especial da Weibull
f(x\mid \alpha,\beta)=\alpha\,\beta\,x^{\beta-1}e^{-\alpha x^\beta}
e a gente já sabe que, para Weibull,
E(X)=\alpha^{-1/\beta}\,\Gamma\bigl(1+1/\beta\bigr).
Então o que precisa rolar:
  1. identificar qual é o e o que viram Rayleigh,
  2. usar a fórmula da esperança da Weibull,
  3. mandar ver na função Gamma (lembra que ).

Passo 2

Vamos comparar as duas densidades termo a termo:
Weibull:
Rayleigh:
  1. O está elevado a 1, então .
  2. No expoente a gente vê deve bater com , logo .

Passo 3

Agora é só colocar isso na fórmula da esperança da Weibull:
E(X)=\alpha^{-1/\beta}\,\Gamma\bigl(1+1/\beta\bigr)
com e .
Isso dá
E(X)=\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)^{-1/2}\,\Gamma\bigl(1+\tfrac12\bigr)
     =\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)^{-1/2}\,\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr).

Passo 4

Lembra que
\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr)
=\tfrac12\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)
=\tfrac12\,\sqrt{\pi}.
E também
\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)^{-1/2}
=\sqrt{\frac{2}{\theta}}.
Então
E(X)
=\sqrt{\tfrac{2}{\theta}}\;\times\;\tfrac12\sqrt{\pi}
=\tfrac{\sqrt{2\pi}}{2\,\sqrt{\theta}}
=\sqrt{\frac{\pi}{2\,\theta}}.

Resposta

E(X)=\sqrt{\frac{\pi}{2\,\theta}}.

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