Uma variável aleatória tem função de distribuição acumulada dada por:
Calcule F(x)=ll 0 & , se x <= 0 x^5 & , se 0= 1 e E(X)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pediu. A gente tem uma v.a. X cuja CDF (função de distribuição acumulada) é
F(x)= 0, & x<=0, x^5, & 0=1
O conteúdo aqui é cálculo de expectativa e variância de variável contínua. Para isso, a gente vai precisar:
  1. Obter a densidade derivando a CDF.
  2. Usar a definição de .
  3. Usar a definição de .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade f(x)=ddxF(x) . Por definição, para uma v.a. contínua
f(x)=5x^4, 0
No nosso caso, para , . Derivando:
E fora desse intervalo .

Passo 3

Agora, expectativa E(X)=integral-infty^infty x,f(x),dx . A fórmula é
E(X)=integral0^1 x,(5x^4),dx =5integral0^1 x^5,dx
Como integral0^1 x^5,dx = [x^66]0^1 = 16 fora de E(X)=5cdot16=56 , fica
Calculemos o integral:
Então

Passo 4

Para a variância precisamos de E(X^2)=integral0^1 x^2,f(x),dx =5integral0^1 x^6,dx . Usamos
integral0^1 x^6,dx = [x^77]0^1 = 17
E
E(X^2)=5cdot17=57
Logo

Passo 5

Finalmente, a variância é
Var(X)=E(X^2)-l(E(X)r)^2 =57-l(56r)^2
Calçando:
l(56r)^2=2536, 57=180252, 2536=175252
Então
Var(X)=180252-175252 =5252

Resposta


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