Uma variável aleatória tem função de distribuição acumulada dada por:
Calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pediu. A gente tem uma v.a. X cuja CDF (função de distribuição acumulada) é
O conteúdo aqui é cálculo de expectativa e variância de variável contínua. Para isso, a gente vai precisar:
- Obter a densidade
derivando a CDF. - Usar a definição de
. - Usar a definição de
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade
f(x)=ddxF(x) . Por definição, para uma v.a. contínua
No nosso caso, para
,
. Derivando:
E fora desse intervalo
.
Passo 3
Agora, expectativa
E(X)=integral-infty^infty x,f(x),dx . A fórmula é
Como
integral0^1 x^5,dx = [x^66]0^1 = 16 fora de
E(X)=5cdot16=56 , fica
Calculemos o integral:
Então
Passo 4
Para a variância precisamos de
E(X^2)=integral0^1 x^2,f(x),dx =5integral0^1 x^6,dx . Usamos
E
Logo
Passo 5
Finalmente, a variância é
Calçando:
Então