Seja uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por:
Calcule f(x)=ll 2 x & , 0 <= x <= 1 0 & , caso contrário

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que precisamos fazer. A questão fala de uma variável aleatória contínua f(x)= 2x, & 0 <= x <= 1, 0, & caso contrário com densidade
Pl(X <= tfrac12 ;|; tfrac13 <= X <= tfrac23r) á
E quer a probabilidade condicional
P(Amid B)=P(Acap B)P(B),
O conteúdo é probabilidade condicional em variáveis contínuas. Para resolver, vamos usar a fórmula
e lembrar que em variável contínua é .

Passo 2

Definimos os eventos:
A = Pl(X <= tfrac12 mid tfrac13 <= X <= tfrac23r) = Pl(Acap Br)P(B)
B =
Então
Repara que é .

Passo 3

Calcular P(B)=integral1/3^2/3 f(x),dx = integral1/3^2/3 2x,dx .
Usamos
integral 2x,dx = x^2,
Fazendo a integral:
P(B)=l[x^2r]1/3^2/3 =l(tfrac23r)^2 - l(tfrac13r)^2 =tfrac49 - tfrac19 =tfrac39 =tfrac13
então

Passo 4

Calcular P(Acap B)=integral1/3^1/22x,dx =l[x^2r]1/3^1/2 =l(tfrac12r)^2 - l(tfrac13r)^2 =tfrac14 - tfrac19 =tfrac936 - tfrac436 =tfrac536 :

Passo 5

Agora é só dividir:
Pl(X <= tfrac12 mid tfrac13 <= X <= tfrac23r) =P(Acap B)P(B) =tfrac536tfrac13 =tfrac536times 3 =tfrac512

Resposta

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