Uma variável aleatória
tem Função Geradora de Momentos dada por:
Prove que
é uma variável aleatória de média zero e variância um utilizando:
i) A FGM
i) A FGM
Passo 1
Então, a questão diz que temos uma variável aleatória X cuja Função Geradora de Momentos (FGM) é
O que a gente precisa provar é que, se definirmos
então essa variável Y tem média zero e variância igual a 1.
Conteúdo: usar propriedades de FGMs, calcular a FGM de Y e extrair a média e a variância através das derivadas em .
Conteúdo: usar propriedades de FGMs, calcular a FGM de Y e extrair a média e a variância através das derivadas em
Passo 2
Primeiro, vamos achar a FGM de
:
Agora, substituindo
:
Passo 3
Pra extrair a média e a variância da FGM, a gente usa:
- Média:
. - Variância:
.
Como
:
- Derivada primeira:
Então
.
2) Derivada segunda:
2) Derivada segunda:
Logo
.
Resposta
Logo, a variável
tem
média
e variância .
média
e variância