Uma variável aleatória X tem Função Geradora de Momentos dada por:
MX(t)=e^(alpha t+beta^2 t^22) para t in R, alpha in R e beta>0
Prove que Y=(X-alpha) / beta é uma variável aleatória de média zero e variância um utilizando:
i) A FGM

Passo 1

Então, a questão diz que temos uma variável aleatória X cuja Função Geradora de Momentos (FGM) é
MX(t)=e^l(alpha t+tfracbeta^2t^22r), tinR,;alphainR,;beta>0
O que a gente precisa provar é que, se definirmos
Y = X-alphabeta,
então essa variável Y tem média zero e variância igual a 1.
Conteúdo: usar propriedades de FGMs, calcular a FGM de Y e extrair a média e a variância através das derivadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a FGM de MY(t) ;=; El(e^tYr) ;=; E!l(e^tX-alphabetar) ;=; e^-alpha tbeta;E!l(e^tbetaXr) ;=;e^-alpha tbeta;MX!l(tfractbetar) :
MY(t) =e^-alpha tbeta ;exp!l(alphatbeta+tfracbeta^22l(tfractbetar)^2r) =e^-alpha tbeta+alpha tbeta+t^22 =e^t^22
Agora, substituindo :

Passo 3

Pra extrair a média e a variância da FGM, a gente usa:
  • Média: M'Y(t) = ddt e^t^2/2 = t,e^t^2/2 .
  • Variância: M''Y(t) =ddtl(t e^t^2/2r) =e^t^2/2 + tcdot t e^t^2/2 =(1+t^2)e^t^2/2 .
Como :
  1. Derivada primeira:
Então .
2) Derivada segunda:
Logo .

Resposta

Logo, a variável tem
média
e variância .

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