Uma variável aleatória
tem Função Geradora de Momentos dada por:
Encontrar a média e variância de
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que temos: o enunciado diz que a função geradora de momentos (MGF) de uma variável aleatória X é
com
Conteúdo: MGF, esperanças e variâncias.
O que vamos usar:
- A propriedade de que
e
- A variância
Passo 2
Primeiro, vamos achar a média
.
- Derivada de
:
Usando a regra da cadeia,
- Avaliando em
:
Passo 3
Agora, o segundo momento
.
- Derive de novo
:
Produto de duas funções, então
Juntando termos:
2. Em:
Passo 4
Por fim, a variância:
Resposta
Média:
Variância:
Variância: