Uma variável aleatória X tem Função Geradora de Momentos dada por:
MX(t)=e^(alpha t+beta^2 t^22) para t in R, alpha in R e beta>0
Encontrar a média e variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos: o enunciado diz que a função geradora de momentos (MGF) de uma variável aleatória X é
MX(t)=e^alpha t + beta^2t^22
com E[X]=MX'(0) e E[X^2]=MX''(0).
Conteúdo: MGF, esperanças e variâncias.
O que vamos usar:
- A propriedade de que
e

- A variância .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a média MX(t)=e^alpha t + beta^2t^22.
  1. Derivada de MX'(t)=l(alpha + beta^2tr),e^alpha t + beta^2t^22: E[X]=MX'(0)=(alpha + beta^2cdot 0),e^0=alpha
    Usando a regra da cadeia,
  2. Avaliando em :

Passo 3

Agora, o segundo momento MX'(t)=(alpha+beta^2t),e^alpha t + beta^2t^22.
  1. Derive de novo MX''(t)=beta^2,e^alpha t + beta^2t^22 + (alpha+beta^2t)l(alpha+beta^2tr)e^alpha t + beta^2t^22: MX''(t)=l[beta^2 + (alpha+beta^2t)^2r],e^alpha t + beta^2t^22
    Produto de duas funções, então
    E[X^2]=MX''(0)=l[beta^2 + alpha^2r],e^0=alpha^2+beta^2Juntando termos:
    2. Em :

Passo 4

Por fim, a variância:
Var(X)=E[X^2] - (E[X])^2 = (alpha^2+beta^2) - alpha^2 = beta^2

Resposta

Média:
Variância:

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