Uma variável aleatória X tem sua distribuição representada pela seguinte função:

sendo g(x)=c 0, se x<-3 / 2 ; a, 2 a, se -3 / 2 <= x<0 ; a+1 / 3, se 1 <= x<3 / 2 b, se x >= 3 / 2 constantes reais.
Nos seguintes dois casos (independentes entre si), responda os itens de a) até e):
CASO I: Se a e b e b=1.
CASO II: Se P(X=b)=0.
Encontre o valor médio de b neq 1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função E[X] ;=; sumx x,P(X=x) que, na verdade, é a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória discreta . Ela é dada por trechos constantes, ou seja, só “sobe” em certos pontos, o que indica átomos (probabilidades pontuais). Nosso objetivo é achar a esperança de , ou seja
Para isso vamos:
  1. identificar onde ocorrem os saltos da CDF e calcular o tamanho de cada salto (que é ),
  2. usar esses valores para computar .

Passo 2

Primeiro, reescrevendo os trechos onde Pl(X=-tfrac32r) &= a - 0 = a, Pl(X=0r) &= 2a - a = a, Pl(X=1r) &= l(a+tfrac13r) - 2a = tfrac13 - a, Pl(X=tfrac32r)&= b - l(a+tfrac13r) = b - a - tfrac13 muda de valor, temos saltos em
  • a>=0, a<=tfrac13, b>= a+tfrac13 , de para ,
  • , de para ,
  • , de para ,
  • , de para .
Cada salto em vale . Logo:
Além disso, para ser uma CDF válida (não decrescente) precisamos de

Passo 3

Para uma distribuição própria (total de probabilidade = 1) a CDF no infinito deve ser 1, ou seja . Se , sobra massa “lá em cima” (na prática significa probabilidade que escapa para ), e a distribuição é defeituosa.

Passo 4

Aqui P(X=1)=tfrac13 - a=0 ;;Longrightarrow;; a=tfrac13 . A condição P(-tfrac32)=tfrac13, P(0)=tfrac13, P(1)=0, P(tfrac32)=1 - a - tfrac13 =1-tfrac13-tfrac13=tfrac13 diz que E[X] =sumx x,P(X=x) =-tfrac32cdottfrac13 + 0cdottfrac13 + tfrac32cdottfrac13 =0 . Mas vimos que
Logo as probabilidades ficam
Só temos três pontos com prob. cada: . Então

Passo 5

Nesse caso a CDF não atinge 1: sobra massa em . Quem tenta computar
vê que falta incluir o ponto com peso , e isso faz a esperança ser infinita ou indefinida. Portanto:

Resposta

Caso I: .
Caso II: não existe (é infinito/indefinido) devido à massa escapando para .

Exercícios relacionados