Uma variável aleatória
tem sua distribuição representada pela seguinte função:
sendo
constantes reais.
Nos seguintes dois casos (independentes entre si), responda os itens de a) até e):
CASO I: Se
e
.
CASO II: Se
.
Encontre o valor médio de
.
sendo
Nos seguintes dois casos (independentes entre si), responda os itens de a) até e):
CASO I: Se
CASO II: Se
Encontre o valor médio de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma função
que, na verdade, é a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória discreta
. Ela é dada por trechos constantes, ou seja, só “sobe” em certos pontos, o que indica átomos (probabilidades pontuais). Nosso objetivo é achar a esperança de
, ou seja
Para isso vamos:
- identificar onde ocorrem os saltos da CDF e calcular o tamanho de cada salto (que é
), - usar esses valores para computar
.
Passo 2
Primeiro, reescrevendo os trechos onde
muda de valor, temos saltos em
-
, de para , -
, de para , -
, de para , -
, de para .
Cada salto
em
vale
. Logo:
Além disso, para ser uma CDF válida (não decrescente) precisamos de
Passo 3
Para uma distribuição própria (total de probabilidade = 1) a CDF no infinito deve ser 1, ou seja
. Se
, sobra massa
“lá em cima” (na prática significa probabilidade que escapa para
), e a distribuição é defeituosa.
Passo 4
Aqui
. A condição
diz que
. Mas vimos que
Logo as probabilidades ficam
Só temos três pontos com prob.
cada:
. Então
Passo 5
Nesse caso a CDF não atinge 1: sobra massa
em
. Quem tenta computar
vê que falta incluir o ponto
com peso
, e isso faz a esperança ser infinita ou indefinida. Portanto:
Resposta
Caso I:
.
Caso II: não existe (é infinito/indefinido) devido à massa
escapando para
.
Caso II: