1. Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
F(x)=cc 0 & se x<-1 0,2 & se -1 <= x<2 0,5 & se 2 <= x<5 0,7 & se 5 <= x<6 0,9 & se 6 <= x<15 1 & se x >= 15
Determine:
a. A função de probabilidade de X.
b. P(X <=-2).
c. P(X<2).
d. P(3 <= X <= 12).
e. P(X>14).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável aleatória discreta X, que é constante em intervalos e tem saltos em x=-1,2,5,6,15. Precisamos extrair
  • a) a função de probabilidade (PMF) de X,
  • b) P(X<=-2),
  • c) P(X<2),
  • d) P(3<= X<=12) e
  • e) P(X>14).

Passo 2

Para uma variável discreta, cada salto de F(x) em x=x0 corresponde a
p(x0)=P(X=x0)=F(x0)-limxto x0^-F(x)
Os pontos de salto e seus tamanhos são:
x=-1:& F(-1)=0,2, limxto-1^-F(x)=0 implies p(-1)=0,2; x=2:& F(2)=0,5, limxto2^-F(x)=0,2 implies p(2)=0,3; x=5:& F(5)=0,7, limxto5^-F(x)=0,5 implies p(5)=0,2; x=6:& F(6)=0,9, limxto6^-F(x)=0,7 implies p(6)=0,2; x=15:& F(15)=1, limxto15^-F(x)=0,9 implies p(15)=0,1

Passo 3

Para P(X<=-2), note que -2<-1 e em todo x<-1 vale F(x)=0. Logo
P(X<=-2)=F(-2)=0

Passo 4

Para P(X<2) usamos o limite à esquerda em 2:
P(X<2)=limxto2^-F(x)=0,2

Passo 5

Para P(3<= X<=12) somamos as probabilidades dos pontos de X entre 3 e 12, isto é x=5 e x=6:
P(3<= X<=12)=p(5)+p(6)=0,2+0,2=0,4

Passo 6

Para P(X>14) usamos
P(X>14)=1-F(14)=1-0,9=0,1

Resposta

(a) A função de probabilidade de
(b)
(d)
(e)

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