Sabe-se que a demanda semanal D de certa mercadoria possui a seguinte distribuição de probabilidade:
A mercadoria é comprada a 2,50 R $3,70 ãéí\mathrm{R} $ 0,50 é\mathrm{R} $0,20$ por unidade vendida na semana.
Qual a quantidade ideal a ser estocada?
Observe que a quantidade a ser estocada E deverá ser aquela que proporcionar um Lucro (L) esperado máximo. Assim, para calcular a função de lucro L , considere os casos em que e .
Dica 1: Crie uma função por partes para o Lucro
Dica 2: Monte uma matriz para o Lucro L, sendo D e Elinha e coluna.
Dica 3: Calcule os valores esperados do Lucro condicionados a cada quantidade de estoque

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre gestão de estoque e probabilidades. A gente tem uma mercadoria que é comprada por R$2,50 a unidade, vendida por R$ 3,70 na semana, e se sobra, vendida como resíduo por R$0,50 na semana seguinte. Além disso, cada unidade vendida custa R$ 0,20 de embalagem. A demanda semanal dessa mercadoria tem certas probabilidades para cada quantidade de vendas de 1 a 5 unidades. Nosso objetivo é descobrir quantas unidades devemos estocar (E) para maximizar o lucro esperado. Para isso, vamos considerar dois casos: quando a demanda D é menor que o estoque E e quando D é maior ou igual a E.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de probabilidade da demanda (D):
Isso significa, por exemplo, que há 10% de chance de vender 1 unidade, 30% de vender 2, e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos definir o lucro (L). O lucro depende de quanto a gente estoca (E) e da demanda (D). Vamos dividir em dois casos:
  1. Se D ≥ E: Vendemos todas as E unidades que estocamos.
  2. Se D < E: Vendemos apenas D unidades e temos E - D unidades como resíduo.
Vamos montar uma função por partes para representar isso:
L(E, D) = (V cdot E) - (C cdot E) - (Ca cdot E) & se D >= E (V cdot D) - (C cdot E) - (Ca cdot D) + (R cdot (E - D)) & se D < E
Onde:
  • V = 3,70 (preço de venda)
  • C = 2,50 (custo de compra)
  • Ca = 0,20 (custo da embalagem)
  • R = 0,50 (preço do resíduo)

Passo 4

Vamos simplificar a função de lucro para os dois casos:
  1. D ≥ E:
L(E, D) = (3,70 cdot E) - (2,50 cdot E) - (0,20 cdot E) = (3,70 - 2,50 - 0,20)E = 1,00E
  1. D < E:
L(E, D) = (3,70 cdot D) - (2,50 cdot E) - (0,20 cdot D) + (0,50 cdot (E - D))
= (3,70D - 0,20D) + (0,50E - 0,50D) - 2,50E
= 3,50D - 0,50D + 0,50E - 2,50E
= 3,00D - 2,00E
Então, nossa função de lucro fica:
L(E, D) = 1,00E & se D >= E 3,00D - 2,00E & se D < E

Passo 5

Agora, vamos calcular o lucro esperado para diferentes valores de E. O lucro esperado é a soma dos lucros multiplicados pelas probabilidades correspondentes.
Vamos testar E de 1 a 5 (já que P(D>5)=0).

Para E = 1

  • D = 1: D = E ⇒ L = 1,00 times 1 = 1,00
  • D = 2,3,4,5: D > E ⇒ L = 1,00 times 1 = 1,00
Lucro Esperado:
E[L|E=1] = 0,10 times 1,00 + 0,30 times 1,00 + 0,10 times 1,00 + 0,50 times 1,00 = 1,00

Para E = 2

  • D = 1: D < E ⇒ L = 3,00 times 1 - 2,00 times 2 = 3,00 - 4,00 = -1,00
  • D = 2,3,4,5: D ≥ E ⇒ L = 1,00 times 2 = 2,00
Lucro Esperado:
E[L|E=2] = 0,10 times (-1,00) + 0,30 times 2,00 + 0,10 times 2,00 + 0,50 times 2,00
= -0,10 + 0,60 + 0,20 + 1,00 = 1,70

Para E = 3

  • D = 1: D < E ⇒ L = 3,00 times 1 - 2,00 times 3 = 3,00 - 6,00 = -3,00
  • D = 2: D < E ⇒ L = 3,00 times 2 - 2,00 times 3 = 6,00 - 6,00 = 0,00
  • D = 3,4,5: D ≥ E ⇒ L = 1,00 times 3 = 3,00
Lucro Esperado:
E[L|E=3] = 0,10 times (-3,00) + 0,30 times 0,00 + 0,10 times 3,00 + 0,50 times 3,00
= -0,30 + 0,00 + 0,30 + 1,50 = 1,50

Para E = 4

  • D = 1: D < E ⇒ L = 3,00 times 1 - 2,00 times 4 = 3,00 - 8,00 = -5,00
  • D = 2: D < E ⇒ L = 3,00 times 2 - 2,00 times 4 = 6,00 - 8,00 = -2,00
  • D = 3: D < E ⇒ L = 3,00 times 3 - 2,00 times 4 = 9,00 - 8,00 = 1,00
  • D = 4,5: D ≥ E ⇒ L = 1,00 times 4 = 4,00
Lucro Esperado:
E[L|E=4] = 0,10 times (-5,00) + 0,30 times (-2,00) + 0,10 times 1,00 + 0,50 times 4,00
= -0,50 - 0,60 + 0,10 + 2,00 = 0,00

Para E = 5

  • D = 1: D < E ⇒ L = 3,00 times 1 - 2,00 times 5 = 3,00 - 10,00 = -7,00
  • D = 2: D < E ⇒ L = 3,00 times 2 - 2,00 times 5 = 6,00 - 10,00 = -4,00
  • D = 3: D < E ⇒ L = 3,00 times 3 - 2,00 times 5 = 9,00 - 10,00 = -1,00
  • D = 4: D < E ⇒ L = 3,00 times 4 - 2,00 times 5 = 12,00 - 10,00 = 2,00
  • D = 5: D ≥ E ⇒ L = 1,00 times 5 = 5,00
Lucro Esperado:
E[L|E=5] = 0,10 times (-7,00) + 0,30 times (-4,00) + 0,10 times (-1,00) + 0,50 times 2,00 + 0,00 times 5,00
= -0,70 - 1,20 - 0,10 + 1,00 + 0,00 = -1,00

Resposta

A quantidade ideal a ser estocada para maximizar o lucro esperado é 2 unidades.

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