Sabe-se que a demanda semanal D de certa mercadoria possui a seguinte distribuição de probabilidade:
A mercadoria é comprada a
2,50
R $3,70
\mathrm{R} $ 0,50
\mathrm{R} $0,20$ por unidade vendida na semana.
Qual a quantidade ideal
a ser estocada?
Observe que a quantidade a ser estocada E deverá ser aquela que proporcionar um Lucro (L) esperado máximo. Assim, para calcular a função de lucro L , considere os casos em que
e
.
Dica 1: Crie uma função por partes para o Lucro
Dica 2: Monte uma matriz para o Lucro L, sendo D e Elinha e coluna.
Dica 3: Calcule os valores esperados do Lucro condicionados a cada quantidade de estoque
Observe que a quantidade a ser estocada E deverá ser aquela que proporcionar um Lucro (L) esperado máximo. Assim, para calcular a função de lucro L , considere os casos em que
Dica 2: Monte uma matriz para o Lucro L, sendo D e Elinha e coluna.
Dica 3: Calcule os valores esperados do Lucro condicionados a cada quantidade de estoque
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre gestão de estoque e probabilidades. A gente tem uma mercadoria que é comprada por R$2,50 a unidade, vendida por R$ 3,70 na semana, e se sobra, vendida como resíduo por R$0,50 na semana seguinte. Além disso, cada unidade vendida custa R$ 0,20 de embalagem. A demanda semanal dessa mercadoria tem certas probabilidades para cada quantidade de vendas de 1 a 5 unidades. Nosso objetivo é descobrir quantas unidades devemos estocar (E) para maximizar o lucro esperado. Para isso, vamos considerar dois casos: quando a demanda D é menor que o estoque E e quando D é maior ou igual a E.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de probabilidade da demanda (D):
Isso significa, por exemplo, que há 10% de chance de vender 1 unidade, 30% de vender 2, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos definir o lucro (L). O lucro depende de quanto a gente estoca (E) e da demanda (D). Vamos dividir em dois casos:
- Se D ≥ E: Vendemos todas as E unidades que estocamos.
- Se D < E: Vendemos apenas D unidades e temos E - D unidades como resíduo.
Vamos montar uma função por partes para representar isso:
Onde:
-
(preço de venda)V = 3,70 -
(custo de compra)C = 2,50 -
(custo da embalagem)Ca = 0,20 -
(preço do resíduo)R = 0,50
Passo 4
Vamos simplificar a função de lucro para os dois casos:
- D ≥ E:
- D < E:
Então, nossa função de lucro fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o lucro esperado para diferentes valores de E. O lucro esperado é a soma dos lucros multiplicados pelas probabilidades correspondentes.
Vamos testar E de 1 a 5 (já que P(D>5)=0).
Para E = 1
- D = 1: D = E ⇒
L = 1,00 times 1 = 1,00 - D = 2,3,4,5: D > E ⇒
L = 1,00 times 1 = 1,00
Lucro Esperado:
Para E = 2
- D = 1: D < E ⇒
L = 3,00 times 1 - 2,00 times 2 = 3,00 - 4,00 = -1,00 - D = 2,3,4,5: D ≥ E ⇒
L = 1,00 times 2 = 2,00
Lucro Esperado:
Para E = 3
- D = 1: D < E ⇒
L = 3,00 times 1 - 2,00 times 3 = 3,00 - 6,00 = -3,00 - D = 2: D < E ⇒
L = 3,00 times 2 - 2,00 times 3 = 6,00 - 6,00 = 0,00 - D = 3,4,5: D ≥ E ⇒
L = 1,00 times 3 = 3,00
Lucro Esperado:
Para E = 4
- D = 1: D < E ⇒
L = 3,00 times 1 - 2,00 times 4 = 3,00 - 8,00 = -5,00 - D = 2: D < E ⇒
L = 3,00 times 2 - 2,00 times 4 = 6,00 - 8,00 = -2,00 - D = 3: D < E ⇒
L = 3,00 times 3 - 2,00 times 4 = 9,00 - 8,00 = 1,00 - D = 4,5: D ≥ E ⇒
L = 1,00 times 4 = 4,00
Lucro Esperado:
Para E = 5
- D = 1: D < E ⇒
L = 3,00 times 1 - 2,00 times 5 = 3,00 - 10,00 = -7,00 - D = 2: D < E ⇒
L = 3,00 times 2 - 2,00 times 5 = 6,00 - 10,00 = -4,00 - D = 3: D < E ⇒
L = 3,00 times 3 - 2,00 times 5 = 9,00 - 10,00 = -1,00 - D = 4: D < E ⇒
L = 3,00 times 4 - 2,00 times 5 = 12,00 - 10,00 = 2,00 - D = 5: D ≥ E ⇒
L = 1,00 times 5 = 5,00
Lucro Esperado:
Resposta
A quantidade ideal a ser estocada para maximizar o lucro esperado é 2 unidades.