Para uma variável aleatória X, uma nova variável aleatória X pode ser criada ao adotar-se uma transformação linear Y=a+b X, em que a e b são constantes. Se uma variável aleatória X tem média mux e desvio padrão sigmax^2, mostre que a média, a variância e o desvio padrão de Y são dados por
muy=a+b mux sigmay^2=b^2 sigmax^2 sigmay=|b| sigmax

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória com expectativa e variância , e define uma transformação linear
onde e são constantes. Para resolver, vamos usar as propriedades de linearidade da esperança e da variância:
  • para constante ,
  • ,
  • ,
  • .

Passo 2

Cálculo da esperança de Y:
E[Y] = E[a + bX] = E[a] + E[bX] = a + b,E[X] = a + b,mux
Logo,
muy = a + b,mux

Passo 3

Cálculo da variância de :
Portanto,

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão de Y:
sigmay = raizVar(Y) = raizb^2,sigmax^2 = |b|,sigmax

Resposta

muy = a + b,mux
sigmay^2 = b^2,sigmax^2
sigmay = |b|,sigmax

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