De segunda a sexta-feira, o Professor Paulo ministra aulas para uma turma com 30 homens e 20 mulheres. Suponha que todos os 50 alunos estejam presentes durante as cinco aulas. Durante uma dada semana, ele decide sortear um aluno por dia para ser examinado. Se X é a variável aleatória que representa o número de dias em que um homem foi selecionado, qual a função de probabilidade, a média e a variância de X ? Considere duas situações diferentes:
(a) O mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez.
(b) Cada dia o professor examinará um aluno diferente.
(c) Compare as funções de probabilidade obtidas em (a) e (b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade envolvendo seleção de alunos em diferentes dias. Vamos usar conceitos de Probabilidade Discreta e Distribuições de Probabilidade para encontrar a função de probabilidade, a média e a variância da variável aleatória X , que representa o número de dias em que um homem foi selecionado para ser examinado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação: temos 30 homens e 20 mulheres, totalizando 50 alunos. O professor vai sortear um aluno por dia durante 5 dias. Queremos saber a probabilidade de que, em um determinado número de dias, o aluno sorteado seja um homem.

Passo 3

Parte (a): O mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez.

Aqui, como o mesmo aluno pode ser escolhido mais de uma vez, cada sorteio é independente. Isso significa que a probabilidade de selecionar um homem em qualquer dia permanece a mesma ao longo dos dias.
A variável X segue uma Distribuição Binomial, onde:
  • n = 5 (número de tentativas/dias)
  • p = 3050 = 0.6 (probabilidade de sucesso, ou seja, selecionar um homem)
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde binomnk é o coeficiente binomial.

Passo 4

Vamos detalhar isso:
Para cada k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 :
P(X = k) = binom5k (0.6)^k (0.4)^5-k
Agora, vamos calcular a média e a variância da distribuição binomial.
A média ( mu ) é:
mu = n times p = 5 times 0.6 = 3
A variância ( sigma^2 ) é:
sigma^2 = n times p times (1 - p) = 5 times 0.6 times 0.4 = 1.2

Passo 5

Parte (b): Cada dia o professor examinará um aluno diferente.

Agora, como cada aluno só pode ser selecionado uma vez, os sorteios não são independentes. A probabilidade de selecionar um homem varia a cada dia, porque o total de alunos e o número de homens disponíveis mudam após cada sorteio.
Isso se enquadra na Distribuição Hipergeométrica, onde:
  • N = 50 (número total de alunos)
  • K = 30 (número total de homens)
  • n = 5 (número de sorteios/dias)
  • k varia de 0 a 5
A função de probabilidade da distribuição hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinom30k dbinom205-kdbinom505

Passo 6

Para calcular a média e a variância nessa distribuição:
A média ( mu ) é:
mu = n times KN = 5 times 3050 = 3
A variância ( sigma^2 ) é:
sigma^2 = n times KN times (1 - KN) times N - nN - 1 = 5 times 0.6 times 0.4 times 4549 approx 1.102

Passo 7

Parte (c): Comparação das funções de probabilidade (a) e (b)

Comparando as duas situações:
  • Função de Probabilidade:
    • Na situação (a) binomial, os sorteios são independentes, então a probabilidade de selecionar um homem é sempre 0.6 .
    • Na situação (b) hipergeométrica, os sorteios são dependentes, e a probabilidade de selecionar um homem diminui ligeiramente a cada sorteio conforme os homens são sorteados.
  • Média e Variância:
    • Ambas as situações têm a mesma média ( mu = 3 ), já que, em média, esperamos selecionar 3 homens em 5 dias.
    • A variância na situação (a) é um pouco maior ( 1.2 ) comparada à situação (b) ( approx 1.102 ), indicando que há um pouco mais de variabilidade na quantidade de homens selecionados quando os sorteios são independentes.

Resposta

(a) Quando o mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez, a função de probabilidade de X é:
P(X = k) = binom5k (0.6)^k (0.4)^5-k para k = 0,1,2,3,4,5
A média de X é 3 e a variância é 1.2 .
(b) Quando cada dia o professor seleciona um aluno diferente, a função de probabilidade de X é:
P(X = k) = dbinom30k dbinom205-kdbinom505 para k = 0,1,2,3,4,5
A média de X é 3 e a variância é aproximadamente 1.102 .
(c) Comparando as duas situações, ambas têm a mesma média de 3 , mas a variância é ligeiramente maior na situação (a) em que os sorteios são independentes. Além disso, a função de probabilidade na situação (a) segue uma distribuição binomial com probabilidade constante 0.6 por dia, enquanto na situação (b) a probabilidade varia devido à seleção sem reposição, seguindo uma distribuição hipergeométrica.

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