De segunda a sexta-feira, o Professor Paulo ministra aulas para uma turma com 30 homens e 20 mulheres. Suponha que todos os 50 alunos estejam presentes durante as cinco aulas. Durante uma dada semana, ele decide sortear um aluno por dia para ser examinado. Se
é a variável aleatória que representa o número de dias em que um homem foi selecionado, qual a função de probabilidade, a média e a variância de
? Considere duas situações diferentes:
(a) O mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez.
(b) Cada dia o professor examinará um aluno diferente.
(c) Compare as funções de probabilidade obtidas em (a) e (b)
(a) O mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez.
(b) Cada dia o professor examinará um aluno diferente.
(c) Compare as funções de probabilidade obtidas em (a) e (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade envolvendo seleção de alunos em diferentes dias. Vamos usar conceitos de Probabilidade Discreta e Distribuições de Probabilidade para encontrar a função de probabilidade, a média e a variância da variável aleatória
, que representa o número de dias em que um homem foi selecionado para ser examinado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação: temos 30 homens e 20 mulheres, totalizando 50 alunos. O professor vai sortear um aluno por dia durante 5 dias. Queremos saber a probabilidade de que, em um determinado número de dias, o aluno sorteado seja um homem.
Passo 3
Parte (a): O mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez.
Aqui, como o mesmo aluno pode ser escolhido mais de uma vez, cada sorteio é independente. Isso significa que a probabilidade de selecionar um homem em qualquer dia permanece a mesma ao longo dos dias.
A variável
segue uma Distribuição Binomial, onde:
-
(número de tentativas/dias) -
(probabilidade de sucesso, ou seja, selecionar um homem)
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
Onde
é o coeficiente binomial.
Passo 4
Vamos detalhar isso:
Para cada
:
Agora, vamos calcular a média e a variância da distribuição binomial.
A média (
) é:
A variância (
) é:
Passo 5
Parte (b): Cada dia o professor examinará um aluno diferente.
Agora, como cada aluno só pode ser selecionado uma vez, os sorteios não são independentes. A probabilidade de selecionar um homem varia a cada dia, porque o total de alunos e o número de homens disponíveis mudam após cada sorteio.
Isso se enquadra na Distribuição Hipergeométrica, onde:
-
(número total de alunos) -
(número total de homens) -
(número de sorteios/dias) -
varia de 0 a 5
A função de probabilidade da distribuição hipergeométrica é:
Passo 6
Para calcular a média e a variância nessa distribuição:
A média (
) é:
A variância (
) é:
Passo 7
Parte (c): Comparação das funções de probabilidade (a) e (b)
Comparando as duas situações:
-
Função de Probabilidade:
- Na situação (a) binomial, os sorteios são independentes, então a probabilidade de selecionar um homem é sempre
. - Na situação (b) hipergeométrica, os sorteios são dependentes, e a probabilidade de selecionar um homem diminui ligeiramente a cada sorteio conforme os homens são sorteados.
- Na situação (a) binomial, os sorteios são independentes, então a probabilidade de selecionar um homem é sempre
-
Média e Variância:
- Ambas as situações têm a mesma média (
), já que, em média, esperamos selecionar 3 homens em 5 dias. - A variância na situação (a) é um pouco maior (
) comparada à situação (b) ( ), indicando que há um pouco mais de variabilidade na quantidade de homens selecionados quando os sorteios são independentes.
- Ambas as situações têm a mesma média (
Resposta
(a) Quando o mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez, a função de probabilidade de
é:
A média de
é
e a variância é
.
(b) Quando cada dia o professor seleciona um aluno diferente, a função de probabilidade de
é:
A média de
é
e a variância é aproximadamente
.
(c) Comparando as duas situações, ambas têm a mesma média de
, mas a variância é ligeiramente maior na situação (a) em que os sorteios são independentes. Além disso, a função de probabilidade na situação (a) segue uma distribuição binomial com probabilidade constante
por dia, enquanto na situação (b) a probabilidade varia devido à seleção sem reposição, seguindo uma distribuição hipergeométrica.