A empresa
compra peças de três fornecedores
e
, nas proporções de
e
, respectivamente. Sabe-se que, em média,
-
das peças fabricadas por
apresentam defeitos.
-
das peças fabricadas por
apresentam defeitos.
-
das peças fabricadas por
apresentam defeitos.
Se uma peça é extraída ao acaso do estoque de
:
(a) qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?
(b) qual a probabilidade condicional de que ela sido produzida pelo fornecedor
, dado que é defeituosa,
?
(a) qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?
(b) qual a probabilidade condicional de que ela sido produzida pelo fornecedor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que compra peças de três fornecedores diferentes:
,
e
. Eles compram essas peças nas proporções de
,
e
, respectivamente. Sabemos também a porcentagem de peças defeituosas de cada fornecedor:
do
,
do
e
do
. Vamos usar esse cenário para resolver duas perguntas de probabilidade:
a) Qual a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa?
b) Qual a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha vindo de cada fornecedor
, onde
?
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes para probabilidades condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa, indiferente de qual fornecedor ela veio. Para isso, usamos o Teorema da Probabilidade Total.
A probabilidade total
de uma peça ser defeituosa é a soma das probabilidades de ser defeituosa de cada fornecedor multiplicadas pela proporção de peças que cada fornecedor fornece:
Onde:
-
é a probabilidade de defeito dado o fornecedor . -
é a proporção de peças compradas do fornecedor .
Passo 3
Vamos substituir os valores dados no enunciado na fórmula:
Calculando cada termo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Agora, somamos esses valores para obter
:
Então, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: qual a probabilidade de que uma peça defeituosa venha de cada fornecedor específico. Aqui usamos o Teorema de Bayes, que nos dá a probabilidade condicional.
A fórmula de Bayes para cada fornecedor é:
Isso significa que a probabilidade de a peça ser do fornecedor
dado que ela é defeituosa é igual à probabilidade dela ser defeituosa pelo
vezes a proporção de peças do
, tudo dividido pela probabilidade total de uma peça ser defeituosa que já calculamos.
Passo 6
Vamos calcular para cada fornecedor:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
(a) A probabilidade de uma peça ser defeituosa é
.
(b) A probabilidade condicional de que uma peça defeituosa seja do fornecedor:
-
: -
: -
: