A empresa X compra peças de três fornecedores A1, A2 e A3, nas proporções de 50 %, 30 % e 20 %, respectivamente. Sabe-se que, em média,
  • 5 % das peças fabricadas por A1 apresentam defeitos.
  • 2 % das peças fabricadas por A2 apresentam defeitos.
  • 1 % das peças fabricadas por A3 apresentam defeitos.
Se uma peça é extraída ao acaso do estoque de X :
(a) qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?
(b) qual a probabilidade condicional de que ela sido produzida pelo fornecedor Ai, dado que é defeituosa, i=1,2,3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que compra peças de três fornecedores diferentes: A1, A2 e A3. Eles compram essas peças nas proporções de 50%, 30% e 20%, respectivamente. Sabemos também a porcentagem de peças defeituosas de cada fornecedor: 5% do A1, 2% do A2 e 1% do A3. Vamos usar esse cenário para resolver duas perguntas de probabilidade:
a) Qual a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa?
b) Qual a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha vindo de cada fornecedor Ai, onde i=1,2,3?
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes para probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa, indiferente de qual fornecedor ela veio. Para isso, usamos o Teorema da Probabilidade Total.
A probabilidade total P(D) de uma peça ser defeituosa é a soma das probabilidades de ser defeituosa de cada fornecedor multiplicadas pela proporção de peças que cada fornecedor fornece:
P(D) = P(D|A1) cdot P(A1) + P(D|A2) cdot P(A2) + P(D|A3) cdot P(A3)
Onde:
  • P(D|Ai) é a probabilidade de defeito dado o fornecedor Ai.
  • P(Ai) é a proporção de peças compradas do fornecedor Ai.

Passo 3

Vamos substituir os valores dados no enunciado na fórmula:
P(D) = (0,05) cdot (0,50) + (0,02) cdot (0,30) + (0,01) cdot (0,20)
Calculando cada termo:
  • Para A1: 0,05 times 0,50 = 0,025
  • Para A2: 0,02 times 0,30 = 0,006
  • Para A3: 0,01 times 0,20 = 0,002

Passo 4

Agora, somamos esses valores para obter P(D):
P(D) = 0,025 + 0,006 + 0,002 = 0,033
Então, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é 0,033, ou seja, 3,3%.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: qual a probabilidade de que uma peça defeituosa venha de cada fornecedor específico. Aqui usamos o Teorema de Bayes, que nos dá a probabilidade condicional.
A fórmula de Bayes para cada fornecedor é:
P(Ai|D) = P(D|Ai) cdot P(Ai)P(D)
Isso significa que a probabilidade de a peça ser do fornecedor Ai dado que ela é defeituosa é igual à probabilidade dela ser defeituosa pelo Ai vezes a proporção de peças do Ai, tudo dividido pela probabilidade total de uma peça ser defeituosa que já calculamos.

Passo 6

Vamos calcular para cada fornecedor:
Para A1:
P(A1|D) = 0,05 times 0,500,033 = 0,0250,033 approx 0,7576 ou 75,76%
Para A2:
P(A2|D) = 0,02 times 0,300,033 = 0,0060,033 approx 0,1818 ou 18,18%
Para A3:
P(A3|D) = 0,01 times 0,200,033 = 0,0020,033 approx 0,0606 ou 6,06%

Resposta

(a) A probabilidade de uma peça ser defeituosa é 3,3%.
(b) A probabilidade condicional de que uma peça defeituosa seja do fornecedor:
  • A1: 75,76%
  • A2: 18,18%
  • A3: 6,06%

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