Uma variável aleatória tem sua distribuição representada pela seguinte função:
sendo a e b constantes reais.
Nos seguintes dois casos (independentes entre si), responda os itens de a) até e):
CASO I: Se b=1 e P(X=b)=0.
CASO II: Se b neq 1.
Obtenha o valor de a.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma função de distribuição acumulada
com e constantes. A matéria é “propriedades de função de distribuição acumulada” (CDF). Para resolver precisamos lembrar que:
e .
é não decrescente.
Se houver “saltos” em pontos , a probabilidade .
Passo 2
Caso I: P(X=1)=0 e P(X=1)=g(1)-g(1^-) =(a+tfrac13)-2a =tfrac13 - a .
– Como CDF tende a 1 no infinito, faz sentido já colocar a=tfrac13 .
– Eles mandam . Como , isso vira
– O salto em é
– Impor dá
Passo 3
Caso II: 0<= a<=tfrac13 .
– Mas na lógica de CDF a soma total de probabilidades (todos os saltos) deve ser 1, e a soma dos saltos de dá exatamente .
– Logo, para ser uma CDF válida precisaríamos de . Se , a função não soma 1 e não é uma CDF.
– A única outra condição “branda” é garantir que seja não decrescente nos trechos:
(para que não caia),
(sempre verdade se ),
,
.
– Então, se insistirmos em e quisermos pelo menos monotonicidade, tem que ficar em
Resposta
Caso I: 0<= a<=tfrac13, .
Caso II: a única forma de manter não decrescente é