Uma variável aleatória X tem sua distribuição representada pela seguinte função:
g(x)=c 0, se x<-3 / 2 ; a, 2 a, se -3 / 2 <= x<0 ; a+1 / 3, se 1 <= x<3 / 2 b, se x >= 3 / 2
sendo a e b constantes reais.
Nos seguintes dois casos (independentes entre si), responda os itens de a) até e):
CASO I: Se b=1 e P(X=b)=0.
CASO II: Se b neq 1.
Obtenha o valor de a.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função de distribuição acumulada
g(x)= 0, & x<-tfrac32, a, & -tfrac32<= x<0, 2a, & 0<= x<1, a+tfrac13, & 1<= x=tfrac32,
com e constantes. A matéria é “propriedades de função de distribuição acumulada” (CDF). Para resolver precisamos lembrar que:
  1. e .
  2. é não decrescente.
  3. Se houver “saltos” em pontos , a probabilidade .

Passo 2

Caso I: P(X=1)=0 e P(X=1)=g(1)-g(1^-) =(a+tfrac13)-2a =tfrac13 - a .
– Como CDF tende a 1 no infinito, faz sentido já colocar a=tfrac13 .
– Eles mandam . Como , isso vira
– O salto em é
– Impor

Passo 3

Caso II: 0<= a<=tfrac13 .
– Mas na lógica de CDF a soma total de probabilidades (todos os saltos) deve ser 1, e a soma dos saltos de dá exatamente .
– Logo, para ser uma CDF válida precisaríamos de . Se , a função não soma 1 e não é uma CDF.
– A única outra condição “branda” é garantir que seja não decrescente nos trechos:
  1. (para que não caia),
  2. (sempre verdade se ),
  3. ,
  4. .
    – Então, se insistirmos em e quisermos pelo menos monotonicidade, tem que ficar em

Resposta

Caso I: 0<= a<=tfrac13, .
Caso II: a única forma de manter não decrescente é
porém a CDF só fecha (soma probabilidade 1) se .

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