Sabe-se que a v.a. X assume os valores 1,2 e 3 e que sua fda FX(x) é tal que
& FX(1)-FX(1^-)=1 / 3 & FX(2)-FX(2^-)=1 / 6 & FX(3)-FX(3^-)=1 / 2
Obtenha a fdp de X, a fda e os respectivos gráficos.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma v.a. discreta FX(1)-FX(1^-)&=tfrac13, FX(2)-FX(2^-)&=tfrac16, FX(3)-FX(3^-)&=tfrac12 que só pode valer 1, 2 ou 3. A informação que deram vem em termos de “saltos” da função de distribuição acumulada (fda) :
O que pedem é:
  1. A fdp (função massa de probabilidade, ou pmf) de .
  2. A fda (cumulative distribution function) de .
  3. Os gráficos dos dois.
Pra resolver, a gente vai usar a ideia de que, em variáveis discretas, o “salto” de em cada ponto é justamente .

Passo 2

Calcular a fdp pX(1)=FX(1)-FX(1^-)=tfrac13 .
  • Em pX(2)=FX(2)-FX(2^-)=tfrac16 : pX(3)=FX(3)-FX(3^-)=tfrac12
  • Em :
  • Em :
Verifica que , tudo certo.

Passo 3

Montar a fda FX(x)= 0, & x<1,[6pt] tfrac13, & 1<= x<2,[6pt] tfrac13+tfrac16=tfrac12, & 2<= x<3,[6pt] tfrac13+tfrac16+tfrac12=1, & x>=3 . Lembra que, pra variável discreta, . Então dá pra escrever como função em pedaços (piecewise):

Passo 4

Descrever os gráficos:
  • Gráfico da fdp: três “pontos” com barras verticais ou círculos sólidos em
    , , .
  • Gráfico da fda: uma escada (step function) que começa em 0 até , depois salta pra em , fica constante até , salta pra em , constante até , e salta pra 1 em .

Resposta

Função massa de probabilidade (fdp):
pX(x)= tfrac13, & x=1, tfrac16, & x=2, tfrac12, & x=3, 0, & caso contrário á
Função distribuição acumulada (fda):
FX(x)= 0, & x<1, tfrac13, & 1<= x<2, tfrac12, & 2<= x<3, 1, & x>=3
Gráfico da fdp: pontos em , , .
Gráfico da fda: escada com saltos de em 1, em 2 e em 3.

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