Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [1, 5]. A média e a variância correspondentes são, respectivamente:
3 e 4/3
2 e 2/3
2 e 1/3
3 e 3/4
3 e 1/3

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão fala sobre uma variável aleatória X que é uniformemente distribuída no intervalo [1, 5]. Nosso objetivo é encontrar a média e a variância dessa distribuição. Para isso, vamos usar as fórmulas da distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Imagine que todos os números entre 1 e 5 têm a mesma chance de ocorrer. Isso simplifica nossos cálculos porque a média e a variância têm fórmulas específicas para esse tipo de distribuição.

Passo 3

Vamos começar encontrando a média (esperança matemática) da variável X. A fórmula para a média de uma distribuição uniforme no intervalo [a, b] é:
mu = a + b2
Aqui, a = 1 e b = 5.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
mu = 1 + 52 = 62 = 3
Então, a média é 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância. A fórmula para a variância de uma distribuição uniforme no intervalo [a, b] é:
sigma^2 = (b - a)^212
Novamente, a = 1 e b = 5.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
sigma^2 = (5 - 1)^212 = 1612 = 43
Portanto, a variância é 4/3.

Resposta

A média e a variância são, respectivamente, 3 e $ \frac{4}{3} $. Portanto, a opção correta é a primeira.

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