Obtenha o domínio de cada função.
a) f(x) = 9x + 3
b) g(x) = x tem um três pequeno em cima do x +8 x+ 3
c) i(x) = raiz quadrada de x - 8
d) j(x) = raiz quadrada de x - 1 x-3

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre domínio de funções. O domínio é basicamente todos os valores de $ x $ que a função consegue aceitar sem causar nenhum problema, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo. Vamos analisar cada função uma por uma e ver quais $ x $ são válidos.

Passo 2

a) $ f(x) = 9x + 3 $
Aqui, temos uma função linear. Não tem nenhum denominador nem raiz quadrada, então não tem restrições.

Passo 3

b) $ g(x) = \frac{x^3}{x + 3} $
Desculpa pela confusão no enunciado! Aqui, $ g(x) $ é uma fração onde o denominador é $ x + 3 $. A gente precisa garantir que o denominador não seja zero.

Passo 4

c) $ i(x) = \sqrt{x - 8} $
Nessa função, temos uma raiz quadrada. A expressão dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo.

Passo 5

d) $ j(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x - 3}} $
Aqui, temos uma raiz quadrada de uma fração. Então, além de a expressão dentro da raiz precisar ser maior ou igual a zero, o denominador da fração também não pode ser zero.

Resposta

a)
O domínio de $ f(x) = 9x + 3 $ é todos os números reais:
f(x) = 9x + 3
b)
Para $ g(x) = \frac{x^3}{x + 3} $, o denominador $ x + 3 $ não pode ser zero:
Df = R
Então, o domínio é todos os números reais exceto $ x = -3 $:
g(x) = x^3x + 3
c)
Para $ i(x) = \sqrt{x - 8} $, a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
x + 3
Então, o domínio é:
x + 3 neq 0 Rightarrow x neq -3
d)
Para $ j(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x - 3}} $:
  1. O denominador $ x - 3 $ não pode ser zero:
x = -3
  1. A fração dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Dg = R setminus -3
Analisando os sinais:
  • Quando $ x < 1 $, ambas $ x - 1 $ e $ x - 3 $ são negativas, então a fração é positiva.
  • Entre $ 1 $ e $ 3 $, $ x - 1 $ é positivo e $ x - 3 $ é negativo, então a fração é negativa.
  • Para $ x > 3 $, ambas são positivas, então a fração é positiva.
Logo, as soluções são $ x \leq 1 $ ou $ x > 3 $.
Então, o domínio é:
i(x) = raizx - 8

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