Determine, em cada caso, a posição relativa entre as retas r e s: a) r : x - 3y = 0 s : y = 3x + 2 c) r : x + 3 = 0 s : x - 1 = 0 b) r : 2x - y + 1 = 0 s : y = -1/2 x - 3

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para descobrir como duas retas estão posicionadas uma em relação à outra. As opções geralmente são: se as retas são paralelas, perpendiculares ou se elas se cruzam em algum ponto. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar os coeficientes angulares (ou seja, as inclinações) das retas e comparar esses valores.

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
Retas dadas:
  • $ r: x - 3y = 0 $
  • $ s: y = 3x + 2 $
Primeiro, vamos colocar a reta $ r $ na forma de $ y = mx + b $, onde $ m $ é o coeficiente angular.
Para a reta $ r $:
r: x - 3y = 0
Então, o coeficiente angular de $ r $ é $ m_r = \frac{1}{3} $.
Para a reta $ s $, já está na forma $ y = 3x + 2 $, então o coeficiente angular é $ m_s = 3 $.

Passo 3

Agora, vamos comparar os coeficientes angulares das retas $ r $ e $ s $:
  • Se $ m_r = m_s $, as retas são paralelas.
  • Se $ m_r \cdot m_s = -1 $, as retas são perpendiculares.
  • Se nenhuma das condições acima for verdadeira, as retas se cruzam em um ponto.
No caso da parte a):
r
s
Então, as retas se cruzam em um ponto.

Passo 4

Vamos para a parte b):
Retas dadas:
  • $ r: 2x - y + 1 = 0 $
  • $ s: y = -\frac{1}{2}x - 3 $
Primeiro, colocamos a reta $ r $ na forma $ y = mx + b $:
r: 2x - y + 1 = 0
Então, o coeficiente angular de $ r $ é $ m_r = 2 $.
Para a reta $ s $, o coeficiente angular já está identificado como $ m_s = -\frac{1}{2} $.

Passo 5

Comparando os coeficientes angulares das retas $ r $ e $ s $:
r
s
Como o produto dos coeficientes angulares é $ -1 $, as retas são perpendiculares.

Passo 6

Agora, a parte c):
Retas dadas:
  • $ r: x + 3 = 0 $
  • $ s: x - 1 = 0 $
Essas equações são retas verticais, pois não têm $ y $ e são da forma $ x = constante $.

Passo 7

Para retas verticais:
  • A reta $ r: x + 3 = 0 $ é equivalente a $ x = -3 $.
  • A reta $ s: x - 1 = 0 $ é equivalente a $ x = 1 $.
Como ambas as retas são verticais e têm diferentes valores de $ x $, elas são paralelas e nunca se cruzam.

Resposta

a) As retas $ r $ e $ s $ se cruzam em um ponto.
b) As retas $ r $ e $ s $ são perpendiculares.
c) As retas $ r $ e $ s $ são paralelas.

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