A variável x tem um acréscimo De<a x. Ache o acréscimo De<a y, se:
y=a^x

Passo 1

O enunciado diz que a variável x sofre um acréscimo De<a x e que y=a^x. Queremos então determinar o acréscimo correspondente em y, ou seja De<a y. O conteúdo aqui é o cálculo de acréscimo de função e, para aproximações, a noção de diferencial.

Passo 2

Por definição, o acréscimo de y quando x passa para x+De<a x é
De<a y = y(x+De<a x) - y(x)

Passo 3

Como y(x)=a^x, temos
y(x+De<a x) = a^,x+De<a x
Logo
De<a y = a^,x+De<a x - a^x

Passo 4

Fatorando a^x, obtemos a expressão exata
De<a y = a^xl(a^De<a x-1r)

Passo 5

Se De<a x for pequeno, podemos usar a aproximação de primeira ordem pela derivada:
dydx = a^xln(a) Longrightarrow De<a y approx dydx,De<a x = a^xln(a),De<a x

Resposta

De<a y = a^xl(a^De<a x-1r)
Para incrementos pequenos,
De<a y approx a^xln(a),De<a x

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