Um vaso cai de uma janela ( \mathrm{vO}=0 ), mas é impulsionado para baixo com 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a janela está a 15 m do chão, qual a velocidade de impacto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo direitinho):
  • A altura da janela até o chão é \,15\\ \text{m}.
  • O vaso recebe um empurrão para baixo de 2\\ \text{m/s}. Vou interpretar isso como velocidade inicial imediatamente após o empurrão: \,v_0=2\\ \text{m/s} dirigida para baixo.
  • Não foi dado o tempo de queda; o que se pede é a velocidade de impacto com o chão (ou seja, a velocidade final ao percorrer os 15\\ \text{m}).
  • Vamos usar a aceleração da gravidade \,g=9,8\\ \text{m/s}^2 (valor padrão) e assumir que ela aponta para baixo.
O que precisamos achar: a velocidade de impacto \,v ao alcançar o chão.

Passo 2

Escolher convenções para evitar confusão:
  • Vou tomar o sentido para baixo como positivo. Assim, \,v_0=2\\ \text{m/s} (positivo) e \,a=+9,8\\ \text{m/s}^2.
  • A variação de posição (deslocamento) ao cair é \,\Delta y=15\\ \text{m} no sentido positivo (de cima para baixo).
É importante explicar o que cada símbolo significa:
  • \,v_0 = velocidade inicial (após o empurrão).
  • \,a = aceleração (aqui é \,g, gravidade).
  • \,\Delta y = deslocamento vertical do ponto inicial até o chão.
  • \,v = velocidade final (o que queremos).

Passo 3

Relembrando e deduzindo a fórmula que vamos usar (passo a passo, sem pular):
  • Para movimento com aceleração constante valem as equações: v = v_0 + a te \Delta y = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
  • Queremos uma relação que dê v sem precisar do tempo t. Então isolamos t na primeira equação: t = \frac{v - v_0}{a}.
  • Substituímos esse t na segunda equação: \Delta y = v_0\left(\frac{v - v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2} a \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2.
  • Fazer a álgebra (expandindo e simplificando) leva à forma conhecida: v^2 = v_0^2 + 2 a\,\Delta y.
Essa fórmula é muito útil na prova porque relaciona velocidades, aceleração e deslocamento sem envolver o tempo.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos na fórmula \,v^2 = v_0^2 + 2 a\,\Delta y:
  • \,v_0=2\\ \text{m/s},
  • \,a=9,8\\ \text{m/s}^2,
  • \,\Delta y=15\\ \text{m}.
Portanto
v^2 = 2^2 + 2\cdot 9,8 \cdot 15.
Calcular passo a passo:
2^2 = 4,
2\cdot 9,8 \cdot 15 = 19,6 \cdot 15 = 294,
v^2 = 4 + 294 = 298.

Passo 5

Tirar raiz para obter \,v:
v = \sqrt{298}\approx 17,26\\ \text{m/s}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar \,v\approx 17,3\\ \text{m/s}.
Cheque rápido de plausibilidade (para você se sentir seguro): se o vaso fosse solto sem o empurrão ( v_0=0) a velocidade seria \sqrt{294}\approx 17,15\\ \text{m/s}. O empurrão para baixo de 2\\ \text{m/s} aumentou a velocidade final só um pouco, o que faz sentido.

Resposta

17,3\\ \text{m/s} (aproximadamente)

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