3 (Energia Cinética e Trabalho) Uma única força age sobre um objeto de 3,0 \mathrm{~kg} que se comporta como uma partícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por x=2,0 t-4,0 t^{2}+1,0 t^{3}, com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado pela força sobre o objeto de t=0 a t=3,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Massa do objeto: m=3,0\\ \mathrm{kg}.
  • Posição em função do tempo: x(t)=2,0\,t-4,0\,t^{2}+1,0\,t^{3}, com x em metros e t em segundos.
  • Intervalo de tempo pedido: de t=0 até t=3,0\\ \mathrm{s}.
  • O que o problema pede: determinar o trabalho realizado pela força que age sobre o objeto no intervalo de tempo dado.

Passo 2

Qual relação vou usar e por quê (explicação didática).
  • O trabalho realizado por uma força resultante sobre uma partícula entre dois instantes pode ser calculado pela integral do produto da força pelo deslocamento. Em termos de tempo, uma forma prática é escrever o trabalho como
W=\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}\,dt,
onde:
  • W é o trabalho,
  • \mathbf{F} é a força resultante atuando na partícula,
  • \mathbf{v} é a velocidade da partícula,
  • t_1 e t_2 são os instantes inicial e final.
  • Para uma partícula sujeita à força resultante \mathbf{F}=m\mathbf{a} (segunda lei de Newton), temos
W=\int_{t_1}^{t_2} m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}\,dt.
Como \mathbf{a}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}, o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{v} é a derivada temporal de \tfrac{1}{2}v^{2}:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right).
Portanto
W=m\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right)dt = \tfrac{1}{2}m\bigl(v(t_2)^{2}-v(t_1)^{2}\bigr).
  • Interpretação: o trabalho realizado pela força resultante entre t_1 e t_2 é igual à variação da energia cinética da partícula. Essa é a chamada Teorema Trabalho-Energia. Aqui:
    • v(t) é a magnitude da velocidade (aqui o movimento é unidimensional, então v=\dfrac{dx}{dt}).
  • Vou usar essa fórmula porque ela é direta: só preciso encontrar v(0) e v(3,0) e aplicar \tfrac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2). Isso evita calcular \mathbf{F}(t) e integrar produto força-deslocamento explicitamente.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t) a partir da posição x(t).
  • Diferenciar x(t) em relação a t. A derivada de x(t)=2,0\,t-4,0\,t^{2}+1,0\,t^{3} é
v(t)=\frac{dx}{dt}=2,0-8,0\,t+3,0\,t^{2}.
  • Agora avalio v nos instantes t_1=0 e t_2=3,0\\ \mathrm{s}:
    • Em t=0:
    v(0)=2,0-8,0\cdot0+3,0\cdot0^{2}=2,0\\ \mathrm{m/s}.
    • Em t=3,0\\ \mathrm{s}:
    v(3,0)=2,0-8,0\cdot3,0+3,0\cdot(3,0)^{2}.Calcule passo a passo: -8,0\cdot3,0=-24,0, \qquad 3,0\cdot(3,0)^{2}=3,0\cdot9,0=27,0.Portanto v(3,0)=2,0-24,0+27,0=5,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a variação da energia cinética e, assim, o trabalho.
  • Energia cinética em um instante t é dada por
K(t)=\tfrac{1}{2}m v(t)^{2},
onde m é a massa e v(t) a velocidade naquele instante.
  • Calculo K(0) e K(3,0):
    • K(0)=\tfrac{1}{2}\,m\,v(0)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 3,0\cdot (2,0)^{2}.
      Passo a passo: (2,0)^{2}=4,0,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot3,0=1,5,então K(0)=1,5\cdot4,0=6,0\\ \mathrm{J}.
    • K(3,0)=\tfrac{1}{2}\,m\,v(3,0)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot3,0\cdot(5,0)^{2}.
      Passo a passo: (5,0)^{2}=25,0,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot3,0=1,5,então K(3,0)=1,5\cdot25,0=37,5\\ \mathrm{J}.
  • A variação da energia cinética é
\Delta K=K(3,0)-K(0)=37,5-6,0=31,5\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Concluir: trabalho realizado pela força no intervalo.
  • Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho realizado pela força resultante de t=0 a t=3,0\\ \mathrm{s} é igual a \Delta K.
  • Logo o trabalho é
W=\Delta K=31,5\\ \mathrm{J}.

Resposta

31,5\\ \text{J}

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