3 (Energia Cinética e Trabalho) Uma única força age sobre um objeto de
que se comporta como uma partícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por
, com
em metros e
em segundos. Determine o trabalho realizado pela força sobre o objeto de
a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Massa do objeto:
. - Posição em função do tempo:
, com em metros e em segundos. - Intervalo de tempo pedido: de
até . - O que o problema pede: determinar o trabalho realizado pela força que age sobre o objeto no intervalo de tempo dado.
Passo 2
Qual relação vou usar e por quê (explicação didática).
- O trabalho realizado por uma força resultante sobre uma partícula entre dois instantes pode ser calculado pela integral do produto da força pelo deslocamento. Em termos de tempo, uma forma prática é escrever o trabalho como
onde:
-
é o trabalho, -
é a força resultante atuando na partícula, -
é a velocidade da partícula, -
e são os instantes inicial e final. -
Para uma partícula sujeita à força resultante
(segunda lei de Newton), temos
Como
, o produto escalar
é a derivada temporal de
:
Portanto
- Interpretação: o trabalho realizado pela força resultante entre
e é igual à variação da energia cinética da partícula. Essa é a chamada Teorema Trabalho-Energia. Aqui: -
é a magnitude da velocidade (aqui o movimento é unidimensional, então ).
-
- Vou usar essa fórmula porque ela é direta: só preciso encontrar
e e aplicar . Isso evita calcular e integrar produto força-deslocamento explicitamente.
Passo 3
Calcular a velocidade
a partir da posição
.
- Diferenciar
em relação a . A derivada de é
- Agora avalio
nos instantes e : - Em
:
- Em
:
Calcule passo a passo: Portanto - Em
Passo 4
Calcular a variação da energia cinética e, assim, o trabalho.
- Energia cinética em um instante
é dada por
onde
é a massa e
a velocidade naquele instante.
- Calculo
e : -
Passo a passo:então -
Passo a passo:então
-
- A variação da energia cinética é
Passo 5
Concluir: trabalho realizado pela força no intervalo.
- Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho realizado pela força resultante de
a é igual a . - Logo o trabalho é