1. Um vaso cilíndrico, de raio 2,5 \mathrm{~cm} e altura 20 cm , está aberto no topo. O vaso contém ar, na pressão de 1 atm . Um pistão perfeitamente ajustado, pesando 9 N , é inserido no topo do vaso e gradualmente abaixado até que a pressão no interior do vaso seja capaz de sustentar o pistāo. (a) Qual é a força exercida no topo do pistão e devida à pressão atmosférica?(b) Qual é a força que deve ser exercida pelo gás, no vaso, abaixo do pistão, para manter o equilíbrio? Qual é a pressão no vaso? (c) Admitindo que a temperatura do gás no vaso não se altere, qual é a altura da posição de equilíbrio do pistão?

Passo 1

Resumindo: temos um vaso cilíndrico de raio r=2,5\,\text{cm} e altura inicial h_{1}=20\,\text{cm}, contendo ar a P_{1}=1\,\text{atm}. Inserimos um pistão perfeitamente ajustado que pesa 9\,\text{N} e abaixamos até o equilíbrio. Precisamos achar:
(a) a força exercida no topo do pistão pela pressão atmosférica;
(b) a força que o gás deve exercer para equilibrar o pistão e a pressão interna P_{2};
(c) a altura de equilíbrio h_{2} se a temperatura permanecer constante (processo isotérmico).

Passo 2

Convertendo o raio para metros e calculando a área do pistão:
r = 2,5\,\text{cm} = 0,025\,\text{m},
A = \pi r^2 = \pi \times (0,025)^2 \approx 1,9635\times10^{-3}\,\text{m}^2.
A pressão externa é
P_{1} = 1\,\text{atm} = 1,013\times10^5\,\text{Pa},
logo a força para baixo é
F_{\text{atm}} = P_{1}\,A \approx (1,013\times10^5)\times(1,9635\times10^{-3}) \approx 1,99\times10^2\,\text{N}.

Passo 3

No equilíbrio, a força para cima do gás, F_{\text{gás}}á, deve equilibrar o peso do pistão mais F_{\text{atm}}:
F_{\text{gás}} = F_{\text{atm}} + mg = 1,99\times10^2 + 9 \approx 2,08\times10^2\,\text{N}.á
A pressão interna fica
P_{2} = \frac{F_{\text{gás}}}{A} \approx \frac{2,08\times10^2}{1,9635\times10^{-3}} \approx 1,059\times10^5\,\text{Pa}.á

Passo 4

Como o gás se comporta isotermicamente, vale
P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2},
com V_{1}=A\,h_{1} e V_{2}=A\,h_{2}. Assim,
h_{2} = h_{1}\,\frac{P_{1}}{P_{2}} =0,20\,\text{m}\times\frac{1,013\times10^5}{1,059\times10^5} \approx0,1914\,\text{m}.

Resposta

(a) F_{\text{atm}}\approx1,99\times10^2\,\text{N}.
(b) F_{\text{gás}}\approx2,08\times10^2\,\text{N}á e P_{2}\approx1,059\times10^5\,\text{Pa}.
(c) h_{2}\approx0,1914\,\text{m} (ou 19,14\,\text{cm}).

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