Um óleo
e
escoa num tubo que apresenta diâmetro interno igual a
.
a) Qual a queda de pressão necessária para produzir uma vazão de
se o tubo for horizontal com
e
.
b) Qual deve ser a inclinação do tubo para que o óleo escoe com a mesma vazão, mas sem queda de pressão,
.
R: (a): 20,
; (b):
a) Qual a queda de pressão necessária para produzir uma vazão de
b) Qual deve ser a inclinação do tubo para que o óleo escoe com a mesma vazão, mas sem queda de pressão,
R: (a): 20,
Passo 1
Dados fornecidos (copiei os valores do enunciado):
(viscosidade dinâmica),
(densidade), diâmetro interno do tubo
, vazão volumétrica
, e posições
e
(comprimento do trecho
).
Perguntas:
a) Qual a queda de pressão necessária para produzir a vazão dada se o tubo for horizontal?
b) Qual deve ser a inclinação do tubo para que o óleo escoe com a mesma vazão, mas sem queda de pressão
?
Perguntas:
a) Qual a queda de pressão necessária
b) Qual deve ser a inclinação
Passo 2
Primeiro calculamos a área da seção transversal e a velocidade média, porque aparecem nas verificações e nas fórmulas.
A área da seção circular é
A área da seção circular é
Substituindo
,
A velocidade média é
Explicação curta:
é a área por onde o fluido passa; dividir a vazão
por
dá a velocidade média do escoamento.
Passo 3
Verificamos se o regime é laminar (assim podemos usar a lei de Poiseuille). Calculamos o número de Reynolds,
Substituindo os valores:
Como
, o escoamento é laminar. Comentário: isso justifica usar a fórmula de Hagen–Poiseuille (válida para escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubos circulares).
Passo 4
Apresento a fórmula de Hagen–Poiseuille (explicando o que cada termo significa). Para escoamento laminar em tubo circular, a queda de pressão ao longo de um comprimento
que produz vazão
é
Aqui:
-
é a diferença de pressão entre a entrada e a saída (unidade: Pa), -
é a viscosidade dinâmica ( ), -
é o comprimento do tubo ( ), -
é a vazão volumétrica ( ), -
é o diâmetro do tubo ( ).
A origem física: a fórmula vem da resolução da equação de Navier–Stokes em regime laminar e de symmetria cilíndrica; não precisamos derivar aqui totalmente, mas é importante saber que a queda de pressão cresce fortemente com.
Passo 5
Aplicamos a fórmula e fazemos as contas passo a passo. Primeiro calculemos
:
Agora o numerador
O denominador é
. Logo
Convertendo para kilopascal:
Interpretação: para o tubo horizontal de
é necessária essa queda de pressão para vencer a resistência viscosa e manter a vazão dada.
Passo 6
Agora parte (b): queremos que a vazão seja a mesma, mas sem queda de pressão entre as extremidades, isto é
. Usamos o balanço de energia (Bernoulli com perda por atrito em forma de pressão): entre as seções 1 e 2,
onde
é a perda de carga expressa em unidades de pressão (igual ao
por atrito que calculamos). Se
então
Explicação das variáveis:
é a cota vertical (m),
. A ideia física: sem diferença de pressão, a componente do peso (gravidade) ao longo do tubo deve fornecer exatamente a energia para vencer o atrito.
Passo 7
Relacionamos a diferença de cota com a inclinação
. Se
é o ângulo do tubo em relação à horizontal, a variação vertical do ponto 1 para o ponto 2 é
Assim
Substituindo em
e lembrando que
(valor positivo que calculamos),
Passo 8
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos
:
Usando
,
Tirando arco-seno,
Interpretação do sinal:
significa que, ao ir de
para
, o tubo desce (o ponto 2 está mais baixo que o ponto 1), de modo que a componente gravitacional em favor do escoamento compensa exatamente a perda por atrito.
Resposta
(a)
(b)
(b)